Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00016909

Дано:

$N=5$ зарядов $Q=1$ мкКл $=10^{-6}$ Кл в вершинах правильного пятиугольника; $\;R=2$ м (от центра до вершины); заряд $q=4$ мкКл $=4\cdot10^{-6}$ Кл на оси на высоте $h=0{,}75R$; $\;k=9\cdot10^9$ Н·м$^2$/Кл$^2$

Найти:

$F$ — модуль и направление силы на заряд $q$

Решение:

Представь пять одинаковых вентиляторов, расставленных ровным кружком, и мячик, висящий точно над центром. Каждый вентилятор дует на мячик наискосок. Боковые «толчки» вентиляторов смотрят в разные стороны симметрично и гасят друг друга, а вот их «вверх»-составляющие складываются — мячик поднимает строго вертикально. С зарядами то же самое: пятиугольник симметричен, горизонтальные части кулоновских сил взаимно уничтожаются, остаётся только вертикаль.

Расстояние от каждого заряда $Q$ (в вершине) до заряда $q$ (над центром) одинаково — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $R$ и $h$:

$s = \sqrt{R^2+h^2} = \sqrt{R^2+(0{,}75R)^2} = R\sqrt{1{,}5625} = 1{,}25R = 1{,}25\cdot2 = 2{,}5\ \text{м}.$

Сила от одного заряда по закону Кулона $f=\dfrac{kQq}{s^2}$. Нас интересует её вертикальная составляющая — умножаем на $\cos$ угла между силой и вертикалью, а он равен $\dfrac{h}{s}$:

$f_\text{верт} = \dfrac{kQq}{s^2}\cdot\dfrac{h}{s} = \dfrac{kQq\,h}{s^3}.$

Все пять зарядов одинаковы и дают одинаковый вертикальный вклад, поэтому полная сила:

$F = 5\cdot\dfrac{kQq\,h}{s^3}.$

Подставляем $h=0{,}75\cdot2=1{,}5$ м, $s=2{,}5$ м:

$F = \dfrac{5\cdot9\cdot10^9\cdot10^{-6}\cdot4\cdot10^{-6}\cdot1{,}5}{2{,}5^3} = \dfrac{0{,}27}{15{,}625}\approx1{,}73\cdot10^{-2}\ \text{Н}.$

Итог: $F\approx17{,}3$ мН, направлена вертикально вверх (заряды одного знака — отталкивают $q$ от плоскости).