МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016877

Дано:

$t_0=-18\,^\circ\text{C}=255$ К — температура внутри морозильника; $t_1=+27\,^\circ\text{C}=300$ К — в комнате; $t_2=-3\,^\circ\text{C}=270$ К — на балконе. Скорость теплопередачи $\propto$ разности температур.

Найти:

$n=\dfrac{P_1}{P_2}$ — во сколько раз уменьшится потребление электроэнергии (мощность мотора).

Решение:

Морозильник — как ведро с дырявыми стенками, которое надо держать пустым: тепло само натекает внутрь через стенки, а мотор его непрерывно вычерпывает наружу. Чем теплее снаружи, тем сильнее «течёт» тепло, и тем тяжелее мотору. Но есть второй, незаметный подвох: чем больше перепад температур, тем дороже обходится каждый вычерпнутый джоуль.

Сначала тепло, натекающее внутрь за единицу времени. По условию его поток пропорционален разности температур среды и нутра холодильника:

$Q_{\text{теч}} = k\,(T_{\text{ср}}-T_0).$

Это тепло мотор должен выкинуть наружу. Морозильник работает как идеальная (обратимая) холодильная машина, и его экономичность задаёт холодильный коэффициент Карно — сколько тепла удаётся выкачать на единицу затраченной работы:

$\varepsilon=\dfrac{T_0}{T_{\text{ср}}-T_0}.$

Тогда потребляемая мощность (работа мотора в единицу времени) — это поток тепла, делённый на $\varepsilon$:

$P=\dfrac{Q_{\text{теч}}}{\varepsilon}=\dfrac{k\,(T_{\text{ср}}-T_0)}{T_0/(T_{\text{ср}}-T_0)}=\dfrac{k\,(T_{\text{ср}}-T_0)^2}{T_0}.$

Видно, что мощность растёт как квадрат перепада температур, а не просто пропорционально ему. Берём отношение для комнаты и балкона (множители $k$ и $T_0$ одинаковы и сокращаются):

$n=\dfrac{P_1}{P_2}=\dfrac{(T_1-T_0)^2}{(T_2-T_0)^2}=\left(\dfrac{T_1-T_0}{T_2-T_0}\right)^2=\left(\dfrac{300-255}{270-255}\right)^2=\left(\dfrac{45}{15}\right)^2=3^2=9.$

Потребление падает в 9 раз. Заметь хитрость: перепад уменьшился ровно втрое, а экономия — в девять раз, потому что выгода идёт сразу с двух сторон — и тепла натекает втрое меньше, и каждый джоуль выкачивается втрое дешевле.