Дано:

V=30 л =30\cdot10^{-3} м³; \;m=45 г =45\cdot10^{-3} кг (общая масса влажного воздуха); \;t=80\,^\circ\text{C}=353 К; \;p=160 кПа =160\cdot10^{3} Па; \;p_{\text{н}}=47 кПа. Молярные массы: воздуха M_{\text{в}}=29\cdot10^{-3} кг/моль, воды M_{\text{п}}=18\cdot10^{-3} кг/моль.

Найти:

\varphi — относительную влажность воздуха.

Решение:

Представь сосуд как комнату, где живут две компании молекул: тяжёлый сухой воздух и лёгкий водяной пар. Мы знаем общий «вес» всех жильцов (m) и общую «толкотню у стен» — давление (p). Надо понять, какую долю давления создаёт именно пар. Фокус в том, что у пара и воздуха разный «вес одной штуки» (молярная масса), поэтому при равном числе молекул они дают одинаковое давление, но разную массу — это и позволит их разделить.

По закону Дальтона p=p_{\text{в}}+p_{\text{п}}, где p_{\text{в}}, p_{\text{п}} — давления сухого воздуха и пара. Для каждого газа уравнение Менделеева–Клапейрона: p_i=\dfrac{m_i}{M_i}\cdot\dfrac{RT}{V}. Обозначим k=\dfrac{RT}{V}.

Сумма масс: m_{\text{в}}+m_{\text{п}}=m. Сумма давлений:

\left(\dfrac{m_{\text{в}}}{M_{\text{в}}}+\dfrac{m_{\text{п}}}{M_{\text{п}}}\right)k=p.

Выразим m_{\text{в}}=m-m_{\text{п}} и подставим:

\left(\dfrac{m-m_{\text{п}}}{M_{\text{в}}}+\dfrac{m_{\text{п}}}{M_{\text{п}}}\right)k=p\;\Rightarrow\;m_{\text{п}}=\dfrac{\dfrac{p}{k}-\dfrac{m}{M_{\text{в}}}}{\dfrac{1}{M_{\text{п}}}-\dfrac{1}{M_{\text{в}}}}.

Считаем k=\dfrac{8{,}31\cdot353}{30\cdot10^{-3}}\approx9{,}78\cdot10^{4} Дж/(кг·... — точнее \dfrac{RT}{V}). Тогда \dfrac{p}{k}=\dfrac{160\cdot10^{3}}{9{,}78\cdot10^{4}}\approx1{,}636, \dfrac{m}{M_{\text{в}}}=\dfrac{0{,}045}{0{,}029}\approx1{,}552. Знаменатель \dfrac{1}{0{,}018}-\dfrac{1}{0{,}029}\approx21{,}1. Отсюда m_{\text{п}}\approx\dfrac{1{,}636-1{,}552}{21{,}1}\approx4{,}0\cdot10^{-3} кг =4{,}0 г.

Давление пара: p_{\text{п}}=\dfrac{m_{\text{п}}}{M_{\text{п}}}k=\dfrac{0{,}004}{0{,}018}\cdot9{,}78\cdot10^{4}\approx21{,}8 кПа. Тогда относительная влажность

\varphi=\dfrac{p_{\text{п}}}{p_{\text{н}}}=\dfrac{21{,}8}{47}\approx0{,}46=46\%.

Пар ещё далёк от насыщения (потолка 47 кПа достигла бы влажность 100\%), так что роса не выпадает — воздух заполнен влагой примерно наполовину.