МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016860

Дано:

$V=30$ л $=30\cdot10^{-3}$ м³; $\;m=45$ г $=45\cdot10^{-3}$ кг (общая масса влажного воздуха); $\;t=80\,^\circ\text{C}=353$ К; $\;p=160$ кПа $=160\cdot10^{3}$ Па; $\;p_{\text{н}}=47$ кПа. Молярные массы: воздуха $M_{\text{в}}=29\cdot10^{-3}$ кг/моль, воды $M_{\text{п}}=18\cdot10^{-3}$ кг/моль.

Найти:

$\varphi$ — относительную влажность воздуха.

Решение:

Представь сосуд как комнату, где живут две компании молекул: тяжёлый сухой воздух и лёгкий водяной пар. Мы знаем общий «вес» всех жильцов ($m$) и общую «толкотню у стен» — давление ($p$). Надо понять, какую долю давления создаёт именно пар. Фокус в том, что у пара и воздуха разный «вес одной штуки» (молярная масса), поэтому при равном числе молекул они дают одинаковое давление, но разную массу — это и позволит их разделить.

По закону Дальтона $p=p_{\text{в}}+p_{\text{п}}$, где $p_{\text{в}}$, $p_{\text{п}}$ — давления сухого воздуха и пара. Для каждого газа уравнение Менделеева–Клапейрона: $p_i=\dfrac{m_i}{M_i}\cdot\dfrac{RT}{V}$. Обозначим $k=\dfrac{RT}{V}$.

Сумма масс: $m_{\text{в}}+m_{\text{п}}=m$. Сумма давлений:

$\left(\dfrac{m_{\text{в}}}{M_{\text{в}}}+\dfrac{m_{\text{п}}}{M_{\text{п}}}\right)k=p.$

Выразим $m_{\text{в}}=m-m_{\text{п}}$ и подставим:

$\left(\dfrac{m-m_{\text{п}}}{M_{\text{в}}}+\dfrac{m_{\text{п}}}{M_{\text{п}}}\right)k=p\;\Rightarrow\;m_{\text{п}}=\dfrac{\dfrac{p}{k}-\dfrac{m}{M_{\text{в}}}}{\dfrac{1}{M_{\text{п}}}-\dfrac{1}{M_{\text{в}}}}.$

Считаем $k=\dfrac{8{,}31\cdot353}{30\cdot10^{-3}}\approx9{,}78\cdot10^{4}$ Дж/(кг·... — точнее $\dfrac{RT}{V}$). Тогда $\dfrac{p}{k}=\dfrac{160\cdot10^{3}}{9{,}78\cdot10^{4}}\approx1{,}636$, $\dfrac{m}{M_{\text{в}}}=\dfrac{0{,}045}{0{,}029}\approx1{,}552$. Знаменатель $\dfrac{1}{0{,}018}-\dfrac{1}{0{,}029}\approx21{,}1$. Отсюда $m_{\text{п}}\approx\dfrac{1{,}636-1{,}552}{21{,}1}\approx4{,}0\cdot10^{-3}$ кг $=4{,}0$ г.

Давление пара: $p_{\text{п}}=\dfrac{m_{\text{п}}}{M_{\text{п}}}k=\dfrac{0{,}004}{0{,}018}\cdot9{,}78\cdot10^{4}\approx21{,}8$ кПа. Тогда относительная влажность

$\varphi=\dfrac{p_{\text{п}}}{p_{\text{н}}}=\dfrac{21{,}8}{47}\approx0{,}46=46\%.$

Пар ещё далёк от насыщения (потолка $47$ кПа достигла бы влажность $100\%$), так что роса не выпадает — воздух заполнен влагой примерно наполовину.