ID: 00016854
Для отопления обычной московской квартиры площадью S = 60 м2 в месяц требуется при сильных морозах, судя по квитанциям ЖКХ, примерно 1 гигакалория теплоты (1 кал = 4,2 Дж). Она получается в основном при сжигании на московских теплоэлектростанциях природного газа — метана с КПД n преобразования энергии экзотермической реакции в теплоту около 50%. Уравнение этой химической реакции имеет вид: где Q = 1,33⋅10-18 Дж (на одну молекулу метана). Представим себе, что пары воды, получившиеся в результате сжигания метана, сконденсировались, замёрзли на морозе и выпали в виде снега на крыше дома, равной по площади квартире. Будем считать плотность такого снега равной 100 кг/м3. Какова будет толщина h слоя снега, выпавшего за месяц в результате этого процесса?
Источник: ФИПИ
$S=60$ м²; $\;Q_{\text{мес}}=1$ Гкал $=10^9$ кал; $\;1$ кал $=4{,}2$ Дж; $\;\eta=50\%=0{,}5$; $\;Q_0=1{,}33\cdot10^{-18}$ Дж (на одну молекулу метана); $\;\rho=100$ кг/м³ (снег); $\;M_{\text{в}}=0{,}018$ кг/моль; $\;N_A=6{,}02\cdot10^{23}$ моль$^{-1}$
$h$ — толщину слоя снега
Задача похожа на цепочку «деньги — товар — сдача». «Деньгами» тут служит тепло, которое нужно дому; «товаром» — сожжённые молекулы метана; а «сдачей» — вода, что родилась при горении и выпала снегом. Пройдём цепочку по шагам.
Шаг 1. Сколько всего тепла нужно за месяц: $Q_{\text{мес}}=10^9\cdot4{,}2=4{,}2\cdot10^9$ Дж.
Шаг 2. Сколько молекул метана для этого сожгли. Каждая молекула при горении выделяет $Q_0$, но в полезное тепло уходит только доля $\eta$, то есть $\eta Q_0$ на молекулу. Тогда число молекул метана
$N_{\text{м}}=\dfrac{Q_{\text{мес}}}{\eta Q_0}=\dfrac{4{,}2\cdot10^9}{0{,}5\cdot1{,}33\cdot10^{-18}}\approx6{,}32\cdot10^{27}.$
Шаг 3. Реакция $\text{CH}_4+2\text{O}_2\to\text{CO}_2+2\text{H}_2\text{O}$: каждая молекула метана даёт $2$ молекулы воды. Значит $N_{\text{в}}=2N_{\text{м}}\approx1{,}26\cdot10^{28}$.
Шаг 4. Масса этой воды (она же масса снега): $m=\dfrac{N_{\text{в}}}{N_A}\,M_{\text{в}}=\dfrac{1{,}26\cdot10^{28}}{6{,}02\cdot10^{23}}\cdot0{,}018\approx378$ кг.
Шаг 5. Объём снега $V=\dfrac{m}{\rho}=\dfrac{378}{100}\approx3{,}78$ м³, и толщина слоя на крыше площадью $S$:
$h=\dfrac{V}{S}=\dfrac{3{,}78}{60}\approx0{,}063\ \text{м}=6{,}3\ \text{см}.$
Получился слой около $6{,}3$ см — вполне заметный сугроб, выросший буквально «из воздуха» за счёт продуктов горения газа.
$h \approx 6{,}3$ см