МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016847

Дано:

$V_2=\dfrac{V_1}{8}$ (объём уменьшили в $8$ раз); $\;p_2=2p_1$ (давление выросло в $2$ раза); $\;T_2=1{,}5\,T_1$; воздух — идеальный газ

Найти:

во сколько раз изменилась внутренняя энергия $U$

Решение:

Внутренняя энергия газа — это «общая копилка движения» всех его молекул. Хитрость в том, что для идеального газа эту копилку можно посчитать не через температуру и количество молекул по отдельности, а сразу через произведение давления на объём — они уже всё про энергию «знают».

Для идеального газа $U=\dfrac{i}{2}\nu RT$, а из уравнения состояния $\nu RT=pV$. Значит

$U=\dfrac{i}{2}\,pV.$

Здесь $i$ — число степеней свободы молекулы (для воздуха не важно какое именно — оно одинаковое до и после). Поэтому отношение энергий равно отношению произведений $pV$:

$\dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac{p_2V_2}{p_1V_1}=\dfrac{2p_1\cdot\dfrac{V_1}{8}}{p_1V_1}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}.$

Температуру $T_2=1{,}5T_1$ для самой энергии знать не нужно — её роль уже «зашита» в $pV$ (часть воздуха просто вытекла через трещину, и количество вещества уменьшилось).