ID: 00016847
В сосуде с небольшой трещиной находится воздух. Воздух может медленно просачиваться сквозь трещину. Во время опыта объем сосуда уменьшили в 8 раз, давление воздуха в сосуде увеличилось в 2 раза, а его абсолютная температура увеличилась в 1,5 раза. Во сколько раз изменилась внутренняя энергия воздуха в сосуде? (Воздух считать идеальным газом.)
Источник: ФИПИ
V_2=\dfrac{V_1}{8} (объём уменьшили в 8 раз); \;p_2=2p_1 (давление выросло в 2 раза); \;T_2=1{,}5\,T_1; воздух — идеальный газ
во сколько раз изменилась внутренняя энергия U
Внутренняя энергия газа — это «общая копилка движения» всех его молекул. Хитрость в том, что для идеального газа эту копилку можно посчитать не через температуру и количество молекул по отдельности, а сразу через произведение давления на объём — они уже всё про энергию «знают».
Для идеального газа U=\dfrac{i}{2}\nu RT, а из уравнения состояния \nu RT=pV. Значит
U=\dfrac{i}{2}\,pV.
Здесь i — число степеней свободы молекулы (для воздуха не важно какое именно — оно одинаковое до и после). Поэтому отношение энергий равно отношению произведений pV:
\dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac{p_2V_2}{p_1V_1}=\dfrac{2p_1\cdot\dfrac{V_1}{8}}{p_1V_1}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}.
Температуру T_2=1{,}5T_1 для самой энергии знать не нужно — её роль уже «зашита» в pV (часть воздуха просто вытекла через трещину, и количество вещества уменьшилось).
Итог: внутренняя энергия уменьшилась в 4 раза.
Внутренняя энергия уменьшилась в 4 раза (\dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac14)