МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016844

Дано:

$V=30$ л $=0{,}03\ \text{м}^3$; $\;\nu_1=0{,}4$ моль (аргон), $u_1=250$ м/с; $\;\nu_2=0{,}6$ моль (неон), $u_2=500$ м/с; $\;M_1=0{,}040$ кг/моль; $\;M_2=0{,}020$ кг/моль

Найти:

$p$ — равновесное давление смеси

Решение:

Представь два роя пчёл в одной банке: один рой летает шустро, другой — медленнее. Стенки не отбирают и не добавляют энергии (теплообмена нет), поэтому общий «запас движения» обоих роёв остаётся прежним — он просто перераспределится, пока все не придут к одной температуре. Этот запас и есть внутренняя энергия газа.

Внутренняя энергия одноатомного газа — это суммарная кинетическая энергия хаотичного движения его атомов: $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$. Среднеквадратичную скорость удобно связать с энергией так: для одного моля $\dfrac{3}{2}RT=\dfrac{1}{2}Mu^2$, поэтому энергия каждого газа до смешения

$U_i=\dfrac{1}{2}\nu_i M_i u_i^2.$

Поскольку сосуд жёсткий и теплоизолированный, работа не совершается и тепло не уходит — внутренняя энергия сохраняется:

$U=U_1+U_2=\dfrac{1}{2}\nu_1 M_1 u_1^2+\dfrac{1}{2}\nu_2 M_2 u_2^2.$

С другой стороны, для всей смеси при общей температуре $T$: $U=\dfrac{3}{2}(\nu_1+\nu_2)RT$, то есть $(\nu_1+\nu_2)RT=\dfrac{2}{3}U$.

Давление по уравнению состояния (это и есть закон Дальтона — давления газов складываются): $pV=(\nu_1+\nu_2)RT$, откуда

$p=\dfrac{(\nu_1+\nu_2)RT}{V}=\dfrac{2U}{3V}=\dfrac{\nu_1 M_1 u_1^2+\nu_2 M_2 u_2^2}{3V}.$

Считаем энергии: $U_1=\dfrac12\cdot0{,}4\cdot0{,}040\cdot250^2=500$ Дж, $\;U_2=\dfrac12\cdot0{,}6\cdot0{,}020\cdot500^2=1500$ Дж, итого $U=2000$ Дж.

$p=\dfrac{2\cdot2000}{3\cdot0{,}03}=\dfrac{4000}{0{,}09}\approx 4{,}44\cdot10^{4}\ \text{Па}\approx 44{,}4\ \text{кПа}.$

Получилось около $44{,}4$ кПа — быстрый, но лёгкий неон вносит в общую энергию больше, чем тяжёлый медленный аргон, и итоговое давление держится на этом уровне.