Дано:

V=30 л =0{,}03\ \text{м}^3; \;\nu_1=0{,}4 моль (аргон), u_1=250 м/с; \;\nu_2=0{,}6 моль (неон), u_2=500 м/с; \;M_1=0{,}040 кг/моль; \;M_2=0{,}020 кг/моль

Найти:

p — равновесное давление смеси

Решение:

Представь два роя пчёл в одной банке: один рой летает шустро, другой — медленнее. Стенки не отбирают и не добавляют энергии (теплообмена нет), поэтому общий «запас движения» обоих роёв остаётся прежним — он просто перераспределится, пока все не придут к одной температуре. Этот запас и есть внутренняя энергия газа.

Внутренняя энергия одноатомного газа — это суммарная кинетическая энергия хаотичного движения его атомов: U=\dfrac{3}{2}\nu RT. Среднеквадратичную скорость удобно связать с энергией так: для одного моля \dfrac{3}{2}RT=\dfrac{1}{2}Mu^2, поэтому энергия каждого газа до смешения

U_i=\dfrac{1}{2}\nu_i M_i u_i^2.

Поскольку сосуд жёсткий и теплоизолированный, работа не совершается и тепло не уходит — внутренняя энергия сохраняется:

U=U_1+U_2=\dfrac{1}{2}\nu_1 M_1 u_1^2+\dfrac{1}{2}\nu_2 M_2 u_2^2.

С другой стороны, для всей смеси при общей температуре T: U=\dfrac{3}{2}(\nu_1+\nu_2)RT, то есть (\nu_1+\nu_2)RT=\dfrac{2}{3}U.

Давление по уравнению состояния (это и есть закон Дальтона — давления газов складываются): pV=(\nu_1+\nu_2)RT, откуда

p=\dfrac{(\nu_1+\nu_2)RT}{V}=\dfrac{2U}{3V}=\dfrac{\nu_1 M_1 u_1^2+\nu_2 M_2 u_2^2}{3V}.

Считаем энергии: U_1=\dfrac12\cdot0{,}4\cdot0{,}040\cdot250^2=500 Дж, \;U_2=\dfrac12\cdot0{,}6\cdot0{,}020\cdot500^2=1500 Дж, итого U=2000 Дж.

p=\dfrac{2\cdot2000}{3\cdot0{,}03}=\dfrac{4000}{0{,}09}\approx 4{,}44\cdot10^{4}\ \text{Па}\approx 44{,}4\ \text{кПа}.

Получилось около 44{,}4 кПа — быстрый, но лёгкий неон вносит в общую энергию больше, чем тяжёлый медленный аргон, и итоговое давление держится на этом уровне.