МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016832

Дано:

$T_{1}=300$ К — гелий; $T_{2}=900$ К — аргон; объёмы равны ($V_{1}=V_{2}$); поршень в равновесии и теплопроводен; газы одноатомные; цилиндр теплоизолирован.

Найти:

$\dfrac{U_\text{He}'}{U_\text{He}}$ — отношение энергии гелия после и до.

Решение:

Представь две комнаты, разделённые тонкой металлической ширмой, которая может ездить. Металл пропускает тепло — значит температуры в комнатах сравняются, как два чая через общую стенку остывают к одному значению. А раз ширма свободно ездит и стоит на месте, давления по обе стороны равны.

Сначала найдём, сколько вещества в каждой части. Поршень в равновесии $\Rightarrow p$ слева и справа равны, объёмы равны. По уравнению состояния $pV=\nu RT$ при одинаковых $p$ и $V$:

$\nu_\text{He}T_{1}=\nu_\text{Ar}T_{2}\;\Rightarrow\;\nu_\text{He}\cdot300=\nu_\text{Ar}\cdot900\;\Rightarrow\;\nu_\text{He}=3\,\nu_\text{Ar}.$

Цилиндр теплоизолирован и жёсткий: наружу тепло не уходит, общий объём постоянен. Поршень толкает один газ за счёт другого — это внутренний обмен, суммарная внутренняя энергия системы сохраняется:

$\tfrac{3}{2}R(\nu_\text{He}T_{1}+\nu_\text{Ar}T_{2})=\tfrac{3}{2}R(\nu_\text{He}+\nu_\text{Ar})T_\text{рав}.$

Пусть $\nu_\text{Ar}=1$, тогда $\nu_\text{He}=3$:

$3\cdot300+1\cdot900=(3+1)\,T_\text{рав}\;\Rightarrow\;1800=4\,T_\text{рав}\;\Rightarrow\;T_\text{рав}=450\ \text{К}.$

Внутренняя энергия одноатомного газа $U=\tfrac{3}{2}\nu RT$, а число молей гелия не меняется. Значит отношение энергий — это просто отношение температур гелия:

$\dfrac{U_\text{He}'}{U_\text{He}}=\dfrac{T_\text{рав}}{T_{1}}=\dfrac{450}{300}=1{,}5.$

Гелий нагрелся с $300$ до $450$ К, поэтому его внутренняя энергия выросла в $1{,}5$ раза.