Дано:

T_{1}=300 К — гелий; T_{2}=900 К — аргон; объёмы равны (V_{1}=V_{2}); поршень в равновесии и теплопроводен; газы одноатомные; цилиндр теплоизолирован.

Найти:

\dfrac{U_\text{He}'}{U_\text{He}} — отношение энергии гелия после и до.

Решение:

Представь две комнаты, разделённые тонкой металлической ширмой, которая может ездить. Металл пропускает тепло — значит температуры в комнатах сравняются, как два чая через общую стенку остывают к одному значению. А раз ширма свободно ездит и стоит на месте, давления по обе стороны равны.

Сначала найдём, сколько вещества в каждой части. Поршень в равновесии \Rightarrow p слева и справа равны, объёмы равны. По уравнению состояния pV=\nu RT при одинаковых p и V:

\nu_\text{He}T_{1}=\nu_\text{Ar}T_{2}\;\Rightarrow\;\nu_\text{He}\cdot300=\nu_\text{Ar}\cdot900\;\Rightarrow\;\nu_\text{He}=3\,\nu_\text{Ar}.

Цилиндр теплоизолирован и жёсткий: наружу тепло не уходит, общий объём постоянен. Поршень толкает один газ за счёт другого — это внутренний обмен, суммарная внутренняя энергия системы сохраняется:

\tfrac{3}{2}R(\nu_\text{He}T_{1}+\nu_\text{Ar}T_{2})=\tfrac{3}{2}R(\nu_\text{He}+\nu_\text{Ar})T_\text{рав}.

Пусть \nu_\text{Ar}=1, тогда \nu_\text{He}=3:

3\cdot300+1\cdot900=(3+1)\,T_\text{рав}\;\Rightarrow\;1800=4\,T_\text{рав}\;\Rightarrow\;T_\text{рав}=450\ \text{К}.

Внутренняя энергия одноатомного газа U=\tfrac{3}{2}\nu RT, а число молей гелия не меняется. Значит отношение энергий — это просто отношение температур гелия:

\dfrac{U_\text{He}'}{U_\text{He}}=\dfrac{T_\text{рав}}{T_{1}}=\dfrac{450}{300}=1{,}5.

Гелий нагрелся с 300 до 450 К, поэтому его внутренняя энергия выросла в 1{,}5 раза.