Дано:

Азот \mathrm{N_2} (двухатомный, M=28\cdot10^{-3} кг/моль); \; опыт 1 (изохорный, поршень закреплён): Q_1=742 Дж, \Delta T=1 К; \; опыт 2 (изобарный): Q_2=1039 Дж, \Delta T=1 К; \;R=8{,}31 Дж/(моль·К).

Найти:

m — массу азота.

Решение:

Сравним два «прогрева» одного и того же газа на один и тот же градус. В первом случае поршень заперт — всё тепло идёт только в копилку (внутреннюю энергию). Во втором поршень свободен — газу приходится ещё и толкать его, то есть часть тепла «утекает» на работу. Разница в теплоте — это и есть плата за работу, и она выдаёт нам количество газа.

Опыт 1 (изохорный, V=\text{const}). Работа не совершается, всё тепло идёт во внутреннюю энергию. Для двухатомного газа теплоёмкость при постоянном объёме C_V=\dfrac{5}{2}R:

Q_1=\nu\,C_V\,\Delta T=\dfrac{5}{2}\,\nu R\,\Delta T.

Опыт 2 (изобарный, p=\text{const}). Газ ещё совершает работу, поэтому теплоты нужно больше. Теплоёмкость при постоянном давлении C_p=\dfrac{7}{2}R:

Q_2=\nu\,C_p\,\Delta T=\dfrac{7}{2}\,\nu R\,\Delta T.

Вычтем первое из второго — лишние слагаемые уйдут, и вылезет «работа газа» \nu R\Delta T (это формула Майера: C_p-C_V=R):

Q_2-Q_1=\nu R\,\Delta T\;\Rightarrow\;\nu=\dfrac{Q_2-Q_1}{R\,\Delta T}=\dfrac{1039-742}{8{,}31\cdot1}=\dfrac{297}{8{,}31}\approx 35{,}7\ \text{моль}.

Масса газа связана с количеством вещества через молярную массу: m=\nu M. Для азота M=28\cdot10^{-3} кг/моль:

m=\nu M\approx 35{,}7\cdot28\cdot10^{-3}\approx 1{,}0\ \text{кг}.

Получился ровно 1 кг азота. Красивый приём: сама по себе разница Q_2-Q_1 — это «налог» на работу расширения, и через него мы узнали, сколько газа в сосуде, не зная ни давления, ни объёма.