МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016830

Дано:

Азот $\mathrm{N_2}$ (двухатомный, $M=28\cdot10^{-3}$ кг/моль); $\;$ опыт 1 (изохорный, поршень закреплён): $Q_1=742$ Дж, $\Delta T=1$ К; $\;$ опыт 2 (изобарный): $Q_2=1039$ Дж, $\Delta T=1$ К; $\;R=8{,}31$ Дж/(моль·К).

Найти:

$m$ — массу азота.

Решение:

Сравним два «прогрева» одного и того же газа на один и тот же градус. В первом случае поршень заперт — всё тепло идёт только в копилку (внутреннюю энергию). Во втором поршень свободен — газу приходится ещё и толкать его, то есть часть тепла «утекает» на работу. Разница в теплоте — это и есть плата за работу, и она выдаёт нам количество газа.

Опыт 1 (изохорный, $V=\text{const}$). Работа не совершается, всё тепло идёт во внутреннюю энергию. Для двухатомного газа теплоёмкость при постоянном объёме $C_V=\dfrac{5}{2}R$:

$Q_1=\nu\,C_V\,\Delta T=\dfrac{5}{2}\,\nu R\,\Delta T.$

Опыт 2 (изобарный, $p=\text{const}$). Газ ещё совершает работу, поэтому теплоты нужно больше. Теплоёмкость при постоянном давлении $C_p=\dfrac{7}{2}R$:

$Q_2=\nu\,C_p\,\Delta T=\dfrac{7}{2}\,\nu R\,\Delta T.$

Вычтем первое из второго — лишние слагаемые уйдут, и вылезет «работа газа» $\nu R\Delta T$ (это формула Майера: $C_p-C_V=R$):

$Q_2-Q_1=\nu R\,\Delta T\;\Rightarrow\;\nu=\dfrac{Q_2-Q_1}{R\,\Delta T}=\dfrac{1039-742}{8{,}31\cdot1}=\dfrac{297}{8{,}31}\approx 35{,}7\ \text{моль}.$

Масса газа связана с количеством вещества через молярную массу: $m=\nu M$. Для азота $M=28\cdot10^{-3}$ кг/моль:

$m=\nu M\approx 35{,}7\cdot28\cdot10^{-3}\approx 1{,}0\ \text{кг}.$

Получился ровно $1$ кг азота. Красивый приём: сама по себе разница $Q_2-Q_1$ — это «налог» на работу расширения, и через него мы узнали, сколько газа в сосуде, не зная ни давления, ни объёма.