Дано:

l=100 мм =0{,}1 м — столбик жидкости; \;l_1=216 мм — воздух (горизонтально); \;l_2=250 мм — воздух (вертикально, запаянным концом вверх); \;p_0=10^5 Па; \;g=10 м/с².

Найти:

\rho — плотность неизвестной жидкости.

Решение:

Запертый воздух в трубке — это пружинка: сожмёшь — давит сильнее, отпустишь — раздувается. Когда трубку ставят запаянным концом вверх, столбик жидкости повисает на этой воздушной пружинке снизу и своим весом её растягивает — воздух раздувается (216\to250 мм), значит его давление упало ровно на «вес жидкости». Через закон Бойля — Мариотта это и даёт плотность.

Сечение трубки S. Горизонтально столбик жидкости не давит на воздух своим весом, поэтому давление запертого воздуха равно атмосферному: p_1=p_0, длина l_1.

Поставили вертикально, запаянным концом вверх: сверху воздух, под ним столбик жидкости, ниже — открытый конец. У открытого конца давление равно p_0. Поднимаясь вверх через жидкость, давление падает на \rho g l, значит давление воздуха сверху:

p_2=p_0-\rho g l.

Температура не менялась, количество воздуха постоянно — работает закон Бойля — Мариотта (частный случай уравнения состояния при T=\text{const}): p_1 l_1=p_2 l_2 (объём \propto длине). Подставляем:

p_0\,l_1=(p_0-\rho g l)\,l_2.

Выражаем плотность:

\rho g l=p_0-p_0\dfrac{l_1}{l_2}=p_0\Big(1-\dfrac{l_1}{l_2}\Big)\;\Rightarrow\;\rho=\dfrac{p_0\,(l_2-l_1)}{g\,l\,l_2}.

Подставляем числа (длины можно в миллиметрах — они входят отношением, а l обязательно в метрах):

\rho=\dfrac{10^5\cdot(250-216)}{10\cdot0{,}1\cdot250}=\dfrac{10^5\cdot34}{250}=13600\ \text{кг/м}^3.

Получилось 13600 кг/м³ — это ртуть. Сходится: тяжёлая жидкость заметно растянула воздушную пружинку, и воздух раздулся с 216 до 250 мм.