МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016820

Дано:

$l=100$ мм $=0{,}1$ м — столбик жидкости; $\;l_1=216$ мм — воздух (горизонтально); $\;l_2=250$ мм — воздух (вертикально, запаянным концом вверх); $\;p_0=10^5$ Па; $\;g=10$ м/с².

Найти:

$\rho$ — плотность неизвестной жидкости.

Решение:

Запертый воздух в трубке — это пружинка: сожмёшь — давит сильнее, отпустишь — раздувается. Когда трубку ставят запаянным концом вверх, столбик жидкости повисает на этой воздушной пружинке снизу и своим весом её растягивает — воздух раздувается ($216\to250$ мм), значит его давление упало ровно на «вес жидкости». Через закон Бойля — Мариотта это и даёт плотность.

Сечение трубки $S$. Горизонтально столбик жидкости не давит на воздух своим весом, поэтому давление запертого воздуха равно атмосферному: $p_1=p_0$, длина $l_1$.

Поставили вертикально, запаянным концом вверх: сверху воздух, под ним столбик жидкости, ниже — открытый конец. У открытого конца давление равно $p_0$. Поднимаясь вверх через жидкость, давление падает на $\rho g l$, значит давление воздуха сверху:

$p_2=p_0-\rho g l.$

Температура не менялась, количество воздуха постоянно — работает закон Бойля — Мариотта (частный случай уравнения состояния при $T=\text{const}$): $p_1 l_1=p_2 l_2$ (объём $\propto$ длине). Подставляем:

$p_0\,l_1=(p_0-\rho g l)\,l_2.$

Выражаем плотность:

$\rho g l=p_0-p_0\dfrac{l_1}{l_2}=p_0\Big(1-\dfrac{l_1}{l_2}\Big)\;\Rightarrow\;\rho=\dfrac{p_0\,(l_2-l_1)}{g\,l\,l_2}.$

Подставляем числа (длины можно в миллиметрах — они входят отношением, а $l$ обязательно в метрах):

$\rho=\dfrac{10^5\cdot(250-216)}{10\cdot0{,}1\cdot250}=\dfrac{10^5\cdot34}{250}=13600\ \text{кг/м}^3.$

Получилось $13600$ кг/м³ — это ртуть. Сходится: тяжёлая жидкость заметно растянула воздушную пружинку, и воздух раздулся с $216$ до $250$ мм.