МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016817

Дано:

$v_1=450$ м/с — начальная среднеквадратичная скорость; газ одноатомный идеальный; сосуд закрытый ($V=\text{const}$, число молекул $N=\text{const}$); давление уменьшили на $19\%$, то есть $p_2=0{,}81\,p_1$.

Найти:

$\Delta v=v_2-v_1$ — как и на сколько изменится скорость.

Решение:

Скорость молекул — как «температура толпы»: чем жарче, тем быстрее все суетятся. В закрытом сосуде с фиксированным числом молекул давление на стенки — это «частота и сила ударов», и оно тоже растёт ровно с температурой. Поэтому, зная, во сколько раз упало давление, мы сразу знаем, во сколько раз упала температура, а через неё — и скорость.

Среднеквадратичная скорость связана с температурой: $v_{\text{кв}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}$, то есть $v\propto\sqrt{T}$.

В закрытом сосуде объём и число молекул постоянны, поэтому по уравнению $pV=NkT$ давление прямо пропорционально температуре: $p\propto T$. Значит, отношение температур равно отношению давлений:

$$\frac{T_2}{T_1}=\frac{p_2}{p_1}=0{,}81.$$

Тогда отношение скоростей:

$$\frac{v_2}{v_1}=\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}=\sqrt{0{,}81}=0{,}9\;\Rightarrow\;v_2=0{,}9\,v_1=0{,}9\cdot450=405\ \text{м/с}.$$

Изменение скорости:

$$\Delta v=v_2-v_1=405-450=-45\ \text{м/с}.$$

Давление упало на $19\%$, но скорость — лишь на $10\%$ (на $45$ м/с): она зависит от корня температуры, поэтому реагирует мягче.