ID: 00016807
Некоторое количество азота находится в замкнутом сосуде при давлении 1 атм. Когда температуру сосуда повысили до 3000 К, давление увеличилось до 15 атм, при этом половина имевшихся молекул азота распалась на атомы. Какой была температура газа до нагревания?
Источник: ФИПИ
p_1=1 атм; \;T_2=3000 К; \;p_2=15 атм; распалась половина молекул азота; объём и масса постоянны (V=\text{const}).
T_1 — температуру до нагревания.
Давление газа — это «барабанная дробь» частиц по стенкам: чем больше частиц и чем они быстрее (горячее), тем сильнее давят. Здесь хитрость: при нагреве каждая молекула \text{N}_2, которая распалась, превратилась в две частицы-атома. Значит, частиц стало больше — и это тоже поднимает давление, помимо нагрева.
Пусть вначале было N молекул (количество вещества \nu_1). Распалась половина: \dfrac{N}{2} молекул остались целыми, а другая \dfrac{N}{2} дала 2\cdot\dfrac{N}{2}=N атомов. Итого частиц стало \dfrac{N}{2}+N=\dfrac{3}{2}N, то есть \nu_2=1{,}5\,\nu_1.
Объём постоянен. Запишем уравнение состояния до и после (pV=\nu RT):
p_1=\frac{\nu_1 R T_1}{V},\qquad p_2=\frac{\nu_2 R T_2}{V}=\frac{1{,}5\,\nu_1 R T_2}{V}.
Делим второе на первое — \nu_1, R, V сокращаются:
\frac{p_2}{p_1}=\frac{1{,}5\,T_2}{T_1}\;\Rightarrow\; T_1=\frac{1{,}5\,T_2\,p_1}{p_2}.
Атмосферы можно не переводить — они в отношении сократятся. Подставляем:
T_1=\frac{1{,}5\cdot3000\cdot1}{15}=300\ \text{К}.
Итог — 300 К (около 27\,^\circ\text{C}). Половина прироста давления пришла от нагрева, половина — от удвоения числа частиц при распаде.
T_1 = 300 К