МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016805

Дано:

$V=1500$ м³; $\;m_{\text{об}}=400$ кг; $\;m=200$ кг (груз); $\;t_0=17\,^\circ\text{C}\Rightarrow T_1=290$ К; $\;p_0=10^5$ Па; $\;M=0{,}029$ кг/моль (воздух); $\;g=10$ м/с²; $\;R=8{,}31$ Дж/(моль·К).

Найти:

$\Delta T=T_2-T_1$ — минимальную разность температур.

Решение:

Шар всплывает по той же причине, что пузырёк в воде: горячий воздух внутри легче холодного снаружи, и холодный воздух выталкивает шар вверх (сила Архимеда). Нагрели сильнее — внутренний воздух стал «жиже», шар легче, подъёмная сила больше. Нужно нагреть ровно настолько, чтобы выталкивание сравнялось с весом всего груза.

На пределе подъёма (минимум) сила Архимеда равна весу оболочки, груза и горячего воздуха внутри:

$$\rho_1 g V = (m_{\text{об}}+m+m_{\text{гор}})g,$$

где $\rho_1$ — плотность наружного (холодного) воздуха, $m_{\text{гор}}=\rho_2 V$ — масса горячего воздуха внутри ($\rho_2$ — его плотность). Сокращаем $g$ и переносим:

$$V(\rho_1-\rho_2)=m_{\text{об}}+m.$$

Давление внутри равно атмосферному (есть отверстие), молярная масса воздуха одна и та же, поэтому плотность связана с температурой через уравнение Менделеева — Клапейрона: $\rho=\dfrac{p_0 M}{RT}$. Тогда

$$V\cdot\frac{p_0 M}{R}\!\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right)=m_{\text{об}}+m.$$

Отсюда находим $T_2$:

$$\frac{1}{T_2}=\frac{1}{T_1}-\frac{(m_{\text{об}}+m)R}{V p_0 M}.$$

Подставляем: $\dfrac{1}{T_2}=\dfrac{1}{290}-\dfrac{600\cdot8{,}31}{1500\cdot10^5\cdot0{,}029}\approx 0{,}002302$, значит $T_2\approx 434$ К.

Искомая разность: $\Delta T=T_2-T_1\approx 434-290\approx 144$ К. То есть воздух внутри надо нагреть примерно на $144$ градуса горячее уличного.