МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016803

Дано:

$m=40$ кг — масса мальчика; нормальное атмосферное давление $p=10^{5}$ Па; $\;T=27\,^\circ\text{C}=300$ К; $\;V_0=10$ л $=0{,}01\ \text{м}^3$ — объём одного шара; гелий $M_{\text{He}}=0{,}004$ кг/моль, воздух $M_{\text{в}}=0{,}029$ кг/моль; $R=8{,}31\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}$. Массой оболочки и объёмом мальчика пренебречь.

Найти:

$N$ — число шаров.

Решение:

Каждый шарик с гелием — как маленький поплавок: воздух выталкивает его вверх (Архимед), но часть этой силы «съедает» вес самого гелия внутри. Что останется — это чистая подъёмная сила одного шарика. Чтобы поднять мальчика, нужно столько шариков, чтобы их суммарная подъёмная сила сравнялась с его весом.

Условие подъёма (равновесие): суммарная сила Архимеда от $N$ шаров равна весу мальчика плюс вес гелия в шарах:

$$N\,\rho_{\text{в}}\,g\,V_0 = m\,g + N\,\rho_{\text{He}}\,g\,V_0.$$

Плотности газов — из уравнения Менделеева — Клапейрона $\rho=\dfrac{pM}{RT}$ (давление и температура у воздуха и гелия одинаковы):

$$\rho_{\text{в}}=\frac{pM_{\text{в}}}{RT}\approx 1{,}163\ \text{кг/м}^3,\qquad \rho_{\text{He}}=\frac{pM_{\text{He}}}{RT}\approx 0{,}160\ \text{кг/м}^3.$$

Сокращаем $g$ и выражаем число шаров:

$$N=\frac{m}{(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{He}})\,V_0} =\frac{m\,RT}{p\,(M_{\text{в}}-M_{\text{He}})\,V_0}.$$

Подставляем числа:

$$N=\frac{40\cdot 8{,}31\cdot 300}{10^{5}\cdot(0{,}029-0{,}004)\cdot 0{,}01} =\frac{99720}{25}\approx 3989.$$

Один шарик поднимает лишь около $10$ граммов, поэтому шаров нужно очень много. Поскольку $3989$ шаров чуть-чуть не хватает, округляем в большую сторону: понадобится $N=4000$ шаров, чтобы мальчик гарантированно оторвался от земли.