МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016801

Дано:

$M=400$ кг — масса оболочки; $\;V=2500\ \text{м}^3$; $\;t_0=7\,^\circ\text{C}$, $T_0=280$ К; $\;\rho_0=1{,}2\ \text{кг/м}^3$; $\;m=200$ кг — масса груза; оболочка нерастяжима ($V=\text{const}$), давление внутри равно атмосферному.

Найти:

$\Delta T_{\min}$ — минимальную разность температур.

Решение:

Тепловой аэростат — как воздушный пузырь, который мы нарочно делаем «лёгким»: нагреваем воздух внутри, он расширяется, лишняя порция уходит через нижнее отверстие наружу, и в том же объёме оболочки остаётся меньше воздуха — значит, шар становится легче. Когда облегчение сравняется с весом оболочки и груза, выталкивающая сила как раз оторвёт шар от земли. Ищем границу — минимальный нагрев.

Условие подъёма (равновесие, второй закон Ньютона при $a=0$): сила Архимеда от наружного воздуха равна суммарному весу оболочки, груза и горячего воздуха внутри:

$$\rho_0 g V = \big(M + m + \rho\,V\big)\,g,$$

где $\rho$ — плотность горячего воздуха внутри. Сокращаем $g$ и выражаем $\rho$:

$$\rho = \rho_0 - \frac{M+m}{V} = 1{,}2 - \frac{400+200}{2500} = 1{,}2-0{,}24 = 0{,}96\ \text{кг/м}^3.$$

Давление внутри равно наружному, поэтому при постоянном давлении плотность обратно пропорциональна абсолютной температуре (из $\rho=\dfrac{pM}{RT}$): $\rho_0 T_0 = \rho\,T$. Отсюда температура горячего воздуха:

$$T = \frac{\rho_0 T_0}{\rho} = \frac{1{,}2\cdot 280}{0{,}96} = 350\ \text{К}.$$

Минимальная разность температур:

$$\Delta T = T - T_0 = 350 - 280 = 70\ \text{К}.$$

Воздух внутри нужно нагреть на $70$ градусов горячее уличного — тогда шар «похудеет» ровно настолько, чтобы поднять и себя, и груз.