Механика (нет в… — Задание 21 ЕГЭ по физике №00016588

Что происходит

В день весеннего равноденствия Солнце движется по небесному экватору (склонение $\delta = 0$). Оно восходит ровно на востоке (6:00), в полдень (12:00) достигает наибольшей высоты, садится ровно на западе (18:00). Тень от стержня всегда направлена в сторону, противоположную Солнцу.

Длина тени: $H = \dfrac{h}{\tan \alpha}$, где $\alpha$ — угол Солнца над горизонтом. На восходе и закате $\alpha \to 0$, поэтому $H \to \infty$. В полдень $\alpha$ максимальна: $\alpha_{\max} = 90° - \varphi = 90° - 56° = 34°$, тень наиболее короткая: $H_{\min} = \dfrac{1}{\tan 34°} \approx 1{,}48$ м.

График H(t) — симметричная U-образная кривая (похожа на ветви гиперболы), с минимумом в 12:00 и «уходящими в бесконечность» ветвями к 6:00 и 18:00.

Почему (законы)

Минимальная скорость конца тени — в момент, когда тень наиболее короткая, то есть в полдень. В этот момент скорость изменения длины тени $dH/dt = 0$ (экстремум), а тень движется только поперёк — вращается вокруг основания стержня.

Угловая скорость вращения тени равна угловой скорости видимого вращения Солнца по азимуту. В момент кульминации (полдень, $\delta = 0$) скорость изменения азимута Солнца:

$$\frac{d A}{d t} = \frac{\omega}{\sin \varphi}$$

где $\omega = \dfrac{2\pi}{24 \cdot 3600} \approx 7{,}27 \times 10^{-5}$ рад/с — угловая скорость суточного вращения Земли, $\varphi = 56°$.

Линейная скорость конца тени:

$$V_{\min} = H_{\min} \cdot \frac{d A}{d t} = \frac{h}{\tan \alpha_{\max}} \cdot \frac{\omega}{\sin \varphi}$$

$$V_{\min} = \frac{1}{\tan 34°} \cdot \frac{7{,}27 \times 10^{-5}}{\sin 56°} = \frac{1}{0{,}6745} \cdot \frac{7{,}27 \times 10^{-5}}{0{,}829} \approx 1{,}483 \cdot 8{,}77 \times 10^{-5} \approx 1{,}3 \times 10^{-4} \text{ м/с}$$

Итог. Тень наиболее короткая в полдень (≈ 1,48 м), к восходу и закату стремится к бесконечности; минимальная скорость конца тени $V_{\min} \approx 1{,}3 \times 10^{-4}$ м/с $\approx 0{,}13$ мм/с.