Термодинамика (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00016550

В задаче две части. Сначала по таблице нужно построить примерный график высоты снега и оценить, как быстро в среднем рос снежный покров. Потом — посчитать, во что обойдётся растопить снег на крыше двумя способами.

Шаг 1 — точки графика. Время $t$ отсчитываем в сутках от 1 декабря: 1 декабря — $t=0$, 31 декабря — $t=30$, 31 января — $t=61$, 28 февраля — $t=89$. Где в таблице дана высота $h$, ставим точку сразу. Где дан только прирост $\Delta h$, прибавляем его к последнему известному значению высоты: 17.12 — $6+10=16$ см, 04.02 — $38+10=48$ см.

Шаг 2 — как идёт график между точками. Снегопад даёт резкий подъём. Спады бывают двух видов. В оттепель снег подтаивает, и высота быстро уменьшается (конец декабря — начало января, 23–29 января, конец февраля). Но высота падает и без оттепели: рыхлый свежий снег под тяжестью новых слоёв и собственного веса слёживается и оседает — так между 04.02 ($48$ см) и 10.02 ($33$ см) покров «сел» на $15$ см. Получается зубчатая кривая с общим ростом: $0$ в начале декабря, $10$–$16$ см в конце декабря, $40$ см в середине января, провал до $16$ см в конце января, $60$ см после рекордного снегопада 12–14 февраля и около $55$–$60$ см в конце февраля (снегопад 24–25.02 добавил $10$ см, оттепель 27.02 убрала столько же).

Рисунок торцов снега показывает те же процессы. На срезе видны пласты: каждый — отдельный снегопад, свежий снег ложится сверху новым слоем. Нижние пласты со временем сжимаются сильнее: на них давит вес всего снега, выпавшего позже. Поэтому слой становится тоньше и плотнее, и высота покрова падает даже в мороз. Плотные прослойки между пластами — следы оттепелей и дождей. Верх снега подтаивал и намокал, а в мороз смерзался в плотную корку, и следующий снегопад ложился уже на неё. Вот почему к концу зимы покров заметно ниже, чем сумма всех снегопадов.

Шаг 3 — средняя скорость роста. Это изменение высоты за всё время, делённое на это время, — а не среднее из отдельных приростов. За зиму высота выросла примерно от $0$ до $60$ см за $89$ суток:

$$\upsilon_{\text{ср}}\approx\dfrac{60\ \text{см}-0}{89\ \text{сут}}\approx0{,}7\ \text{см/сут}$$

Если взять конечную высоту $55$ см, получится около $0{,}6$ см/сут — для оценки разница несущественна.

Шаг 4 — масса снега. Толщину переводим в метры: $h_{\text{с}}=0{,}7$ м. Масса слоя

$$m=\rho Sh_{\text{с}}=400\cdot1\cdot0{,}7=280\ \text{кг}$$

Шаг 5 — сколько нужно теплоты. Снег при $-10\ ^\circ\text{C}$ сначала надо нагреть до $0\ ^\circ\text{C}$, а потом расплавить. Из справочных данных: удельная теплоёмкость льда $c_{\text{л}}=2100$ Дж/(кг·°C), удельная теплота плавления льда $\lambda=3{,}3\cdot10^5$ Дж/кг. Количество теплоты на нагревание и плавление:

$$Q=c_{\text{л}}m\,(0-T_{\text{с}})+\lambda m=2100\cdot280\cdot10+3{,}3\cdot10^5\cdot280=5{,}88\cdot10^6+92{,}4\cdot10^6=98{,}28\cdot10^6\ \text{Дж}$$

Шаг 6 — электронагреватель. Считаем, что вся электроэнергия идёт на снег. Один киловатт-час — это работа мощности $1000$ Вт за $3600$ с, то есть $3{,}6\cdot10^6$ Дж:

$$W=\dfrac{98{,}28\cdot10^6}{3{,}6\cdot10^6}\approx27{,}3\ \text{кВт}\cdot\text{ч},\qquad 27{,}3\cdot5{,}66\approx154{,}5\ \text{руб.}$$

Шаг 7 — горячая вода. Вода из-под крана отдаёт тепло, остывая от $60\ ^\circ\text{C}$ до $0\ ^\circ\text{C}$: в конце на крыше остаётся талая вода при $0\ ^\circ\text{C}$. По уравнению теплового баланса вода отдаёт столько, сколько получает снег ($c_{\text{в}}=4200$ Дж/(кг·°C)):

$$c_{\text{в}}m_{\text{в}}\,(T_{\text{в}}-0)=Q,\qquad m_{\text{в}}=\dfrac{98{,}28\cdot10^6}{4200\cdot60}=390\ \text{кг}$$

При плотности воды $1000$ кг/м³ это $0{,}39$ м³, и стоит такая вода $0{,}39\cdot205{,}15\approx80$ руб.

Вывод: растопить снег горячей водой обойдётся примерно в $80$ руб., электронагревателем — примерно в $154{,}5$ руб., то есть горячей водой почти вдвое дешевле. На деле затраты будут больше: часть тепла уйдёт в воздух и в крышу.

Проверим себя: на нагрев килограмма снега до нуля уходит $2100\cdot10=21\,000$ Дж, а на его плавление — $330\,000$ Дж, почти в $16$ раз больше. Значит, главная статья расхода — плавление, и грубая оценка $Q\approx\lambda m=92{,}4$ МДж должна отличаться от точной лишь на несколько процентов — так и есть ($98{,}3$ МДж).