ID: 00026326
Один моль одноатомного идеального газа участвует в процессе 1–2–3–4, график которого изображён на рисунке в координатах p – V , где p – давление газа, V – объём газа. Опираясь на законы молекулярной физики и термодинамики, объясните, получает ли газ положительное количество теплоты или отдаёт в процессах 1–2, 2–3 и 3–4.
Источник: ФИПИ
Прочитаем рисунок по клеточкам. По вертикали давление p, по горизонтали объём V. Точка 1 — (V=1;\,p=6), из неё стрелка идёт строго вниз в точку 2 — (V=1;\,p=4). Дальше от точки 2 плавная кривая уходит вправо-вниз в точку 3 — (V=4;\,p=1). И наконец от точки 3 горизонтальная стрелка ведёт вправо в точку 4 — (V=7;\,p=1).
Теперь обоснуем, чем будем пользоваться. Газ одноатомный идеальный, \nu=1 моль. Главный инструмент — первый закон термодинамики: Q=\Delta U+A_\text{газа}, он говорит, что подведённая к газу теплота идёт на прирост его внутренней энергии плюс на работу, которую газ совершает над внешними телами. Знак Q — это ровно то, что спрашивают: Q\gt0 означает «газ получает теплоту», Q\lt0 — «отдаёт». Второй инструмент — внутренняя энергия одноатомного идеального газа: U=\frac{3}{2}\nu RT=\frac{3}{2}pV, где второе равенство получено подстановкой уравнения состояния \nu RT=pV. Оно очень удобно: чтобы понять, куда меняется внутренняя энергия (и температура), достаточно посмотреть, куда меняется произведение pV — а обе эти величины прямо отложены по осям. Третий инструмент — работа: она положительна при расширении и отрицательна при сжатии, а численно равна площади под графиком процесса на диаграмме p–V; при постоянном давлении это просто A=p\,\Delta V.
Шаг 1 — процесс 1–2. Отрезок вертикальный, объём не меняется: это изохора. Стенки не двигаются, значит газ работы не совершает: A_{12}=0. Смотрим на произведение pV: было 6\cdot1=6, стало 4\cdot1=4 — уменьшилось. Значит уменьшились и температура, и внутренняя энергия: \Delta U_{12}\lt0. Подставляем в первый закон: Q_{12}=\Delta U_{12}+0\lt0. Теплота отрицательна — газ её отдаёт (охлаждается при постоянном объёме).
Шаг 2 — процесс 2–3. Проверим, что это за кривая: в точке 2 произведение pV=4\cdot1=4, в точке 3 — pV=1\cdot4=4. Одинаково, значит pV=\text{const} — это изотерма (закон Бойля—Мариотта). Раз температура постоянна, внутренняя энергия тоже постоянна: \Delta U_{23}=0. Объём при этом растёт с 1 до 4, газ расширяется, поэтому работа газа положительна: A_{23}\gt0 (это площадь под кривой, и она заведомо не нуль). Первый закон даёт Q_{23}=0+A_{23}\gt0. Газ получает теплоту: вся она уходит на работу расширения, потому что нагреваться газу «некуда» — температура держится.
Шаг 3 — процесс 3–4. Отрезок горизонтальный, давление постоянно: это изобара. Объём растёт с 4 до 7, значит газ расширяется и работа положительна: A_{34}=p\,\Delta V=1\cdot(7-4)=3\ \text{клетки площади}\gt0. Произведение pV выросло с 1\cdot4=4 до 1\cdot7=7, значит выросли температура и внутренняя энергия: \Delta U_{34}=\frac{3}{2}\,\Delta(pV)=\frac{3}{2}\,(7-4)=4{,}5\gt0. Оба слагаемых первого закона положительны, поэтому Q_{34}=\Delta U_{34}+A_{34}=4{,}5+3=7{,}5\gt0. Газ получает теплоту.
И всё сходится: на первом участке газ только остывал, ничего не совершая, — теплоту он отдавал; на втором вся полученная теплота ушла в работу; на третьем теплоты понадобилось больше всего, потому что она пошла сразу и на нагрев, и на расширение.
Процесс 1–2 (изохора, V=1 клетка, давление падает с 6 до 4 клеток): газ отдаёт теплоту — работа газа равна нулю, а внутренняя энергия убывает вместе с температурой, поэтому Q_{12}=\Delta U_{12}\lt0.
Процесс 2–3 (изотерма, произведение pV одинаково в точках 2 и 3: 4\cdot1=1\cdot4): газ получает положительное количество теплоты — внутренняя энергия не меняется, а газ расширяется и совершает положительную работу, поэтому Q_{23}=A_{23}\gt0.
Процесс 3–4 (изобара, p=1 клетка, объём растёт с 4 до 7 клеток): газ получает положительное количество теплоты — газ расширяется, значит A_{34}\gt0, и одновременно растёт произведение pV, значит растут температура и внутренняя энергия, \Delta U_{34}\gt0; поэтому Q_{34}=\Delta U_{34}+A_{34}\gt0.
Использованы первый закон термодинамики Q=\Delta U+A_\text{газа}, выражение внутренней энергии одноатомного идеального газа U=\dfrac{3}{2}\nu RT=\dfrac{3}{2}pV, уравнение состояния pV=\nu RT и графический смысл работы газа как площади под графиком на диаграмме p–V.