ID: 00026326
Один моль одноатомного идеального газа участвует в процессе 1–2–3–4, график которого изображён на рисунке в координатах p – V , где p – давление газа, V – объём газа. Опираясь на законы молекулярной физики и термодинамики, объясните, получает ли газ положительное количество теплоты или отдаёт в процессах 1–2, 2–3 и 3–4.
Источник: ФИПИ
Прочитаем рисунок по клеточкам. По вертикали давление $p$, по горизонтали объём $V$. Точка 1 — $(V=1;\,p=6)$, из неё стрелка идёт строго вниз в точку 2 — $(V=1;\,p=4)$. Дальше от точки 2 плавная кривая уходит вправо-вниз в точку 3 — $(V=4;\,p=1)$. И наконец от точки 3 горизонтальная стрелка ведёт вправо в точку 4 — $(V=7;\,p=1)$.
Теперь обоснуем, чем будем пользоваться. Газ одноатомный идеальный, $\nu=1$ моль. Главный инструмент — первый закон термодинамики: $$Q=\Delta U+A_\text{газа},$$ он говорит, что подведённая к газу теплота идёт на прирост его внутренней энергии плюс на работу, которую газ совершает над внешними телами. Знак $Q$ — это ровно то, что спрашивают: $Q\gt0$ означает «газ получает теплоту», $Q\lt0$ — «отдаёт». Второй инструмент — внутренняя энергия одноатомного идеального газа: $$U=\frac{3}{2}\nu RT=\frac{3}{2}pV,$$ где второе равенство получено подстановкой уравнения состояния $\nu RT=pV$. Оно очень удобно: чтобы понять, куда меняется внутренняя энергия (и температура), достаточно посмотреть, куда меняется произведение $pV$ — а обе эти величины прямо отложены по осям. Третий инструмент — работа: она положительна при расширении и отрицательна при сжатии, а численно равна площади под графиком процесса на диаграмме $p$–$V$; при постоянном давлении это просто $A=p\,\Delta V$.
Шаг 1 — процесс 1–2. Отрезок вертикальный, объём не меняется: это изохора. Стенки не двигаются, значит газ работы не совершает: $A_{12}=0$. Смотрим на произведение $pV$: было $6\cdot1=6$, стало $4\cdot1=4$ — уменьшилось. Значит уменьшились и температура, и внутренняя энергия: $\Delta U_{12}\lt0$. Подставляем в первый закон: $$Q_{12}=\Delta U_{12}+0\lt0.$$ Теплота отрицательна — газ её отдаёт (охлаждается при постоянном объёме).
Шаг 2 — процесс 2–3. Проверим, что это за кривая: в точке 2 произведение $pV=4\cdot1=4$, в точке 3 — $pV=1\cdot4=4$. Одинаково, значит $pV=\text{const}$ — это изотерма (закон Бойля—Мариотта). Раз температура постоянна, внутренняя энергия тоже постоянна: $\Delta U_{23}=0$. Объём при этом растёт с $1$ до $4$, газ расширяется, поэтому работа газа положительна: $A_{23}\gt0$ (это площадь под кривой, и она заведомо не нуль). Первый закон даёт $$Q_{23}=0+A_{23}\gt0.$$ Газ получает теплоту: вся она уходит на работу расширения, потому что нагреваться газу «некуда» — температура держится.
Шаг 3 — процесс 3–4. Отрезок горизонтальный, давление постоянно: это изобара. Объём растёт с $4$ до $7$, значит газ расширяется и работа положительна: $$A_{34}=p\,\Delta V=1\cdot(7-4)=3\ \text{клетки площади}\gt0.$$ Произведение $pV$ выросло с $1\cdot4=4$ до $1\cdot7=7$, значит выросли температура и внутренняя энергия: $$\Delta U_{34}=\frac{3}{2}\,\Delta(pV)=\frac{3}{2}\,(7-4)=4{,}5\gt0.$$ Оба слагаемых первого закона положительны, поэтому $$Q_{34}=\Delta U_{34}+A_{34}=4{,}5+3=7{,}5\gt0.$$ Газ получает теплоту.
И всё сходится: на первом участке газ только остывал, ничего не совершая, — теплоту он отдавал; на втором вся полученная теплота ушла в работу; на третьем теплоты понадобилось больше всего, потому что она пошла сразу и на нагрев, и на расширение.
Процесс 1–2 (изохора, $V=1$ клетка, давление падает с $6$ до $4$ клеток): газ отдаёт теплоту — работа газа равна нулю, а внутренняя энергия убывает вместе с температурой, поэтому $Q_{12}=\Delta U_{12}\lt0$.
Процесс 2–3 (изотерма, произведение $pV$ одинаково в точках 2 и 3: $4\cdot1=1\cdot4$): газ получает положительное количество теплоты — внутренняя энергия не меняется, а газ расширяется и совершает положительную работу, поэтому $Q_{23}=A_{23}\gt0$.
Процесс 3–4 (изобара, $p=1$ клетка, объём растёт с $4$ до $7$ клеток): газ получает положительное количество теплоты — газ расширяется, значит $A_{34}\gt0$, и одновременно растёт произведение $pV$, значит растут температура и внутренняя энергия, $\Delta U_{34}\gt0$; поэтому $Q_{34}=\Delta U_{34}+A_{34}\gt0$.
Использованы первый закон термодинамики $Q=\Delta U+A_\text{газа}$, выражение внутренней энергии одноатомного идеального газа $U=\dfrac{3}{2}\nu RT=\dfrac{3}{2}pV$, уравнение состояния $pV=\nu RT$ и графический смысл работы газа как площади под графиком на диаграмме $p$–$V$.