ID: 00026325
Постоянное количество одноатомного идеального газа участвует в процессе, который изображён на рисунке в переменных U – p , где U – внутренняя энергия газа, p – его давление. Опираясь на законы молекулярной физики и термодинамики, определите, получает ли газ положительное количество теплоты или отдаёт его в процессах 1–2 и 2–3. Ответ поясните.
Источник: ФИПИ
Сначала прочитаем рисунок. По вертикали отложена внутренняя энергия газа $U$, по горизонтали — его давление $p$. Газ идёт из точки 1 вправо в точку 2 по строго горизонтальному отрезку, а затем из точки 2 вправо-вверх в точку 3 по наклонному отрезку. Тонкая пунктирная линия на рисунке — это продолжение наклонного участка 2–3: она приходит точно в начало координат. Эту деталь обязательно надо использовать, без неё участок 2–3 не расшифровать.
Теперь обоснуем инструменты. Газ по условию одноатомный идеальный, количество вещества постоянно. У одноатомного идеального газа внутренняя энергия — это только кинетическая энергия поступательного движения молекул, и она равна $$U=\frac{3}{2}\nu RT.$$ Подставим сюда уравнение состояния $\nu RT=pV$ и получим рабочую формулу $$U=\frac{3}{2}pV.$$ Из неё сразу два следствия: во-первых, $U$ и $T$ ведут себя одинаково (постоянная внутренняя энергия — это постоянная температура), во-вторых, по паре $(U;\,p)$ мы однозначно находим объём: $V=\dfrac{2U}{3p}$. Второй инструмент — первый закон термодинамики: $$Q=\Delta U+A_\text{газа},$$ то есть подведённая теплота идёт на прирост внутренней энергии и на работу, которую газ совершает над внешними телами. Знак $Q$ и есть то, что у нас спрашивают.
Шаг 1 — что за процесс 1–2. Отрезок горизонтальный: внутренняя энергия не меняется, значит и температура не меняется. Это изотермический процесс, и для него $\Delta U_{12}=0$. Давление при этом растёт (идём вправо по оси $p$). По закону Бойля—Мариотта $pV=\text{const}$ рост давления означает уменьшение объёма — газ сжимают. То же самое видно из $V=\dfrac{2U}{3p}$: числитель постоянен, знаменатель растёт, значит $V$ убывает.
Шаг 2 — знак теплоты на участке 1–2. Раз объём уменьшается, работа самого газа отрицательна: $A_\text{газа}\lt0$ (положительную работу совершают внешние силы, которые сжимают газ). Подставляем в первый закон: $$Q_{12}=\Delta U_{12}+A_\text{газа}=0+A_\text{газа}\lt0.$$ Отрицательное $Q$ означает, что газ не получает, а отдаёт теплоту. Физически понятно: сжимая газ, над ним совершают работу, он «нагревался бы», но температура держится постоянной — значит вся эта энергия уходит наружу в виде теплоты.
Шаг 3 — что за процесс 2–3. Точки 2 и 3 лежат на прямой, проходящей через начало координат, значит $U=\text{const}\cdot p$. Подставим это в $U=\dfrac{3}{2}pV$: $$\text{const}\cdot p=\frac{3}{2}pV\quad\Longrightarrow\quad V=\frac{2\,\text{const}}{3}=\text{const}.$$ Объём постоянен — это изохорный процесс.
Шаг 4 — знак теплоты на участке 2–3. При постоянном объёме газ не совершает работы: $A_\text{газа}=0$ (некуда двигать стенки). Внутренняя энергия при этом растёт — по графику точка 3 лежит выше точки 2. Значит $$Q_{23}=\Delta U_{23}+0=\Delta U_{23}\gt0,$$ то есть газ получает положительное количество теплоты. И это логично: вся подведённая теплота целиком уходит в нагрев газа, потому что тратиться на работу ей не на что.
И всё сходится: на первом участке газу «помогали» внешние силы, и чтобы не нагреться, он был вынужден сбрасывать теплоту наружу; на втором участке ему, наоборот, теплоту подводили, и она вся осела в его внутренней энергии.
В процессе 1–2 газ отдаёт теплоту ($Q_{12}\lt0$), в процессе 2–3 газ получает положительное количество теплоты ($Q_{23}\gt0$).
Обоснование: для одноатомного идеального газа $U=\dfrac{3}{2}\nu RT=\dfrac{3}{2}pV$. На участке 1–2 внутренняя энергия постоянна, значит постоянна и температура — это изотерма; так как давление растёт, объём по закону Бойля—Мариотта убывает, газ сжимается и его работа отрицательна. По первому закону термодинамики $Q=\Delta U+A_\text{газа}$ при $\Delta U=0$ получаем $Q_{12}=A_\text{газа}\lt0$ — теплота отводится. На участке 2–3 точки лежат на прямой, продолжение которой проходит через начало координат, то есть $U\propto p$; подставив $U=\dfrac{3}{2}pV$, получаем $V=\text{const}$ — это изохора, работа газа равна нулю. Внутренняя энергия при этом растёт, поэтому $Q_{23}=\Delta U\gt0$ — теплота подводится.