Термодинамика (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00048430

Задача из двух частей: сначала по неполной таблице восстановить примерный ход высоты снега и найти, когда снег прибывал быстрее всего, а потом сравнить, во что обойдётся растопить снег на крыше площадью $100$ м² горячей водой и электричеством.

Шаг 1 — оси и точки. По горизонтали откладываем время в сутках от 1 декабря ($t=0$) до конца февраля ($t\approx89$), по вертикали — высоту $h$ в сантиметрах. Строки с известной высотой дают точки сразу. Где есть только прирост $\Delta h$, высоту получаем из предыдущей точки: 17.12 — $6+10=16$ см, 04.02 — $38+10=48$ см. Даты-промежутки («23–29.01», «12–14.02») ставим серединой промежутка.

Шаг 2 — форма графика. Подъёмы — это снегопады. Спады — оттепели, когда снег подтаивает, и оседание: слой рыхлого снега под собственным весом и весом новых слоёв слёживается, и высота уменьшается даже в мороз — например, с $48$ см 4 февраля до $33$ см 10 февраля. График получается зубчатым.

Шаг 3 — где рост самый быстрый. Скорость роста на графике — это крутизна подъёма: прирост высоты, делённый на число суток, за которые он набежал. Сравним подъёмы:

1–6 декабря: $\dfrac{13}{5}\approx2{,}6$ см/сут; 15–17 декабря: $\dfrac{10}{2}=5$ см/сут; 14–16 января: $\dfrac{10}{2}=5$ см/сут; конец января (от $16$ см 26.01 до $38$ см 31.01): $\dfrac{22}{5}\approx4{,}4$ см/сут; 24–25 февраля: $\dfrac{10}{2}=5$ см/сут; рекордный снегопад (от $33$ см 10.02 до $60$ см 13.02): $\dfrac{27}{3}=9$ см/сут.

Самый крутой подъём — 12–14 февраля, во время рекордного снегопада: около $9$ см/сут, то есть порядка $10$ см в сутки. Если считать, что весь прирост $27$ см пришёлся на двое суток, получится около $13$ см/сут — порядок и период те же.

Шаг 4 — масса снега. Толщина $h_{\text{с}}=0{,}7$ м, объём слоя $Sh_{\text{с}}=100\cdot0{,}7=70$ м³, масса

$$m=\rho Sh_{\text{с}}=400\cdot70=28\,000\ \text{кг}$$

Шаг 5 — теплота. Снег надо нагреть от $-10\ ^\circ\text{C}$ до $0\ ^\circ\text{C}$ и затем расплавить. Из справочных данных: $c_{\text{л}}=2100$ Дж/(кг·°C), $\lambda=3{,}3\cdot10^5$ Дж/кг. Одному килограмму снега нужно $2100\cdot10+330\,000=351\,000$ Дж, а всему снегу —

$$Q=m\left(c_{\text{л}}\,(0-T_{\text{с}})+\lambda\right)=28\,000\cdot351\,000\approx9{,}83\cdot10^9\ \text{Дж}$$

Шаг 6 — электричество. Один киловатт-час — это $1000\ \text{Вт}\cdot3600\ \text{с}=3{,}6\cdot10^6$ Дж:

$$W=\dfrac{9{,}828\cdot10^9}{3{,}6\cdot10^6}=2730\ \text{кВт}\cdot\text{ч},\qquad 2730\cdot5{,}66\approx15\,452\ \text{руб.}$$

Шаг 7 — горячая вода. Остывая от $60\ ^\circ\text{C}$ до $0\ ^\circ\text{C}$, каждый килограмм воды отдаёт $c_{\text{в}}\cdot60=4200\cdot60=252\,000$ Дж. По уравнению теплового баланса нужна масса воды

$$m_{\text{в}}=\dfrac{Q}{c_{\text{в}}\,(T_{\text{в}}-0)}=\dfrac{9{,}828\cdot10^9}{252\,000}=39\,000\ \text{кг}$$

Тариф дан за кубометр, поэтому переходим к объёму через плотность воды $1000$ кг/м³: $V_{\text{в}}=39$ м³, цена $39\cdot205{,}15\approx8001$ руб.

Вывод: горячей водой растопить снег с крыши стоит около $8001$ руб., электричеством — около $15\,452$ руб., почти вдвое дороже. Реальные затраты будут больше: часть тепла уйдёт в воздух и в крышу.

Проверим себя: отношение цен $\dfrac{15\,452}{8001}\approx1{,}9$ от площади не зависит — оно определяется тем, сколько стоит один мегаджоуль тепла каждым способом. Электричество: $\dfrac{5{,}66}{3{,}6}\approx1{,}57$ руб. за мегаджоуль; вода: $\dfrac{205{,}15}{252}\approx0{,}81$ руб. за мегаджоуль (кубометр воды отдаёт $1000\cdot252\,000=252$ МДж) — разница тоже в $1{,}9$ раза.