Global EE

Термодинамика (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00048584

Задание №29. №21. Качественная Задача (нет в 2026)

Термодинамика (нет в 2026)

№2. Задание без номера

ID: 00048584

Согласно предположению И. Ньютона, которое он проверил экспериментально, тепловая мощность, отдаваемая нагретым до температуры $T$ телом в окружающую среду с более низкой температурой $T_0$, пропорциональна разности температур тела и среды. Отсюда следует, что скорость охлаждения тела $\dfrac{\Delta T}{\Delta t}=-k(T-T_0)$. Это уравнение можно решать численно, действуя следующим образом. Разобьём время охлаждения тела на одинаковые интервалы $\Delta t$, в течение каждого из которых будем считать разность температур $T_i-T_0$ постоянной. Затем найдём величину $\Delta T_i=-k(T_i-T_0)\Delta t$ — это изменение температуры тела за интервал времени $\Delta t$. Продолжая такую процедуру, можно определить ход зависимости $T(t)$.

Пусть стальной чайник с кипятком общей массой $m=3$ кг остывает от $100$ °С до примерно $40$ °С в воздухе с температурой $T_0=20$ °С. Выберем $\Delta t=4$ мин. Удельная теплоёмкость чайника вместе с водой равна $c=3000$ Дж/(кг·°С), коэффициент $k=0{,}05\ \text{мин}^{-1}$. Рассчитайте, чему будет равна температура чайника через $4$ мин, $8$ мин, $12$ мин и т. д. с момента начала остывания до момента достижения конечной температуры.

1) Постройте по найденным точкам график зависимости температуры $T$ чайника от времени $t$.

2) За какое время $t_0$ чайник остынет от $100$ °С до примерно $40$ °С?

3) Чему равна средняя мощность теплоотдачи чайника во внешнюю среду за время остывания $t_0$?

Поясните ответы на эти вопросы, указав, какие физические явления и закономерности Вы использовали при решении задачи.

Источник: СтатГрад 14.12.2020

Решение

Что тут происходит. Чайник с кипятком остывает в комнате, отдавая теплоту воздуху (теплопередача). По закону Ньютона скорость остывания пропорциональна тому, насколько чайник горячее воздуха: чем ближе он к температуре комнаты, тем медленнее остывает. Нужно пошагово посчитать температуру, построить график, найти время остывания до $\approx40$ °С и среднюю мощность теплоотдачи.

Шаг 1 — какая доля разности «уходит» за шаг. За один шаг $\Delta t=4$ мин температура меняется на

$$\Delta T_i=-k(T_i-T_0)\Delta t=-0{,}05\cdot4\cdot(T_i-20)=-0{,}2\,(T_i-20).$$

То есть за каждые $4$ минуты разность температур чайника и воздуха уменьшается на одну пятую, а от неё остаётся $0{,}8$.

Шаг 2 — таблица. Каждый следующий шаг считаем от последнего найденного значения, а не от $100$ °С:

$t=4$ мин: разность $100-20=80$, $\Delta T=-0{,}2\cdot80=-16$, $T=100-16=84$ °С;

$t=8$ мин: разность $64$, $\Delta T=-12{,}8$, $T=71{,}2$ °С;

$t=12$ мин: разность $51{,}2$, $\Delta T\approx-10{,}24$, $T\approx61{,}0$ °С;

$t=16$ мин: разность $\approx40{,}96$, $\Delta T\approx-8{,}19$, $T\approx52{,}8$ °С;

$t=20$ мин: разность $\approx32{,}77$, $\Delta T\approx-6{,}55$, $T\approx46{,}2$ °С;

$t=24$ мин: разность $\approx26{,}21$, $\Delta T\approx-5{,}24$, $T\approx41{,}0$ °С.

Остывание чайника (шаг 4 мин)

$t$, мин

0

4

8

12

16

20

24

$T$, °С

100

84

$71{,}2$

$61{,}0$

$52{,}8$

$46{,}2$

$41{,}0$

Шаг 3 — график. Отмечаем точки таблицы и соединяем плавной линией. Получается убывающая кривая, выпуклая вниз: «ступеньки» вниз становятся всё меньше ($16$; $12{,}8$; $10{,}2$; …), потому что каждый раз уменьшается разность температур. Кривая приближается к прямой $T=20$ °С, но не пересекает её: каждый шаг убирает лишь пятую часть оставшейся разности.

Для сравнения: в начале чайник остывает на $16$ °С за $4$ мин, то есть на $4$ °С в минуту. Если бы он так и остывал, до $40$ °С ему хватило бы $\dfrac{60}{4}=15$ мин. На деле остывание замедляется, поэтому нужно больше времени.

Шаг 4 — время остывания. Температура «примерно $40$ °С» достигается через $t_0\approx24$ мин ($41{,}0$ °С; на следующем шаге было бы уже $36{,}8$ °С). Сам метод приближённый, поэтому точнее искать не нужно.

Шаг 5 — отданная теплота. Количество теплоты, которое чайник с водой отдал воздуху, зависит только от массы, теплоёмкости, начальной и конечной температуры, а не от того, как шло остывание:

$$Q=cm(T_{\text{нач}}-T_{\text{кон}})=3000\cdot3\cdot(100-40)=540\,000\ \text{Дж}.$$

Шаг 6 — средняя мощность. Средняя мощность теплоотдачи — отданная теплота, делённая на время; время берём в секундах: $t_0=24\cdot60=1440$ с.

$$N_{\text{ср}}=\dfrac{Q}{t_0}=\dfrac{540\,000}{1440}=375\ \text{Вт}.$$

Проверим себя. В начале чайник терял $16$ °С за $4$ мин, то есть мощность теплоотдачи была $\dfrac{cm\cdot16}{240}=\dfrac{9000\cdot16}{240}=600$ Вт; к концу — около $\dfrac{9000\cdot5{,}24}{240}\approx197$ Вт. Средние $375$ Вт лежат между ними — разумно. И ниже $20$ °С температура по этому правилу опуститься не может: за шаг уходит только доля $0{,}2$ от оставшейся разности.

Ответ

Температура чайника через $4$, $8$, $12$, $16$, $20$, $24$ мин: $84$; $71{,}2$; $\approx61{,}0$; $\approx52{,}8$; $\approx46{,}2$; $\approx41{,}0$ °С. 1) График $T(t)$ — убывающая кривая, выпуклая вниз: остывание всё время замедляется, кривая приближается к $20$ °С. 2) $t_0\approx24$ мин. 3) Средняя мощность теплоотдачи $N_{\text{ср}}=\dfrac{cm(100-40)}{t_0}=\dfrac{540\,000\ \text{Дж}}{1440\ \text{с}}\approx375$ Вт.

Другие задания по теме «Термодинамика (нет в 2026)» (8)