ID: 00026320
Один моль гелия участвует в циклическом процессе 1–2–3–4–1, график которого изображён на рисунке в координатах p – T , где р – давление газа, Т – абсолютная температура. Опираясь на законы молекулярной физики и термодинамики, сравните модуль работы газа в процессе 2–3 и модуль работы внешних сил в процессе 4–1. Постройте график цикла в координатах p – V , где р – давление газа, V – объём газа.
Источник: ФИПИ
Сначала прочитаем рисунок. Оси такие: по вертикали давление p, по горизонтали абсолютная температура T. Снимаем координаты точек: 1 — (T_0;\,p_0), 2 — (6T_0;\,6p_0), 3 — (6T_0;\,3p_0), 4 — (2T_0;\,p_0). Точки 1 и 2 лежат на одном луче, выходящем из начала координат, точки 4 и 3 — на другом, тоже из начала координат. Участок 2–3 вертикальный, участок 4–1 горизонтальный.
Теперь главное — как читать такую диаграмму. Гелий разреженный, значит его можно считать идеальным газом, и работает уравнение состояния pV=\nu RT при \nu=1 моль. Перепишем его в виде p=\frac{\nu R}{V}\,T. Отсюда виден важный признак: если объём постоянен, то p прямо пропорционально T, то есть на диаграмме p–T изохора — это прямая, проходящая через начало координат, и чем больше объём, тем меньше наклон такой прямой. Вертикальная линия на p–T — это T=\text{const}, изотерма. Горизонтальная линия — p=\text{const}, изобара. Ещё нам понадобится, что работа газа при постоянном давлении равна A=p\,\Delta V, а в общем случае работа газа численно равна площади под графиком процесса на диаграмме p–V.
Шаг 1 — расшифровываем участки. 1–2: луч из начала координат, значит изохора; обозначим этот объём V_0. Из состояния 1 находим V_0=\dfrac{\nu RT_0}{p_0}=\dfrac{RT_0}{p_0}. 2–3: вертикаль при T=6T_0, значит изотерма; давление падает с 6p_0 до 3p_0, то есть вдвое, поэтому по закону Бойля—Мариотта объём вырастает вдвое: V_3=2V_0. 3–4: второй луч из начала координат, значит изохора при V=2V_0; проверим точку 4: V_4=\dfrac{\nu R\cdot2T_0}{p_0}=2V_0 — сходится. 4–1: горизонталь при p=p_0, значит изобара; объём меняется от 2V_0 до V_0, то есть газ сжимается.
Шаг 2 — строим цикл в осях p–V. Ставим точку 1 в (V_0;\,p_0). Изохора 1–2 — вертикальный отрезок вверх до (V_0;\,6p_0). Изотерма 2–3 — плавно спадающая дуга гиперболы p=\dfrac{\text{const}}{V} вправо до точки (2V_0;\,3p_0). Изохора 3–4 — вертикальный отрезок вниз до (2V_0;\,p_0). Изобара 4–1 — горизонтальный отрезок влево на уровне p_0 обратно в точку 1. Цикл замкнулся.
Шаг 3 — считаем работу внешних сил в процессе 4–1. Давление постоянно, поэтому работа газа равна A_{41}=p_0\,(V_1-V_4)=p_0\,(V_0-2V_0)=-p_0V_0. Она отрицательна, потому что газ сжимают; значит работу совершают внешние силы, и её модуль равен |A_{41}|=p_0V_0.
Шаг 4 — оцениваем работу газа в процессе 2–3. Здесь давление не постоянно, простой формулы p\Delta V нет, зато есть графический смысл: работа газа равна площади под изотермой на диаграмме p–V в интервале от V_0 до 2V_0. Изотерма идёт от уровня 6p_0 до уровня 3p_0, то есть на всём этом интервале давление газа не меньше 3p_0. Значит площадь под изотермой больше площади прямоугольника той же ширины V_0 и высоты 3p_0: A_{23}\gt3p_0\cdot V_0=3p_0V_0.
Шаг 5 — сравниваем. Получили |A_{41}|=p_0V_0 и A_{23}\gt3p_0V_0, то есть A_{23}\gt3\,|A_{41}|. Работа газа при изотермическом расширении 2–3 больше работы внешних сил при изобарном сжатии 4–1 более чем втрое.
И всё сходится по смыслу: газ расширялся на том же самом интервале объёмов, что и сжимался, но расширялся он при высоких давлениях (от 6p_0 до 3p_0), а сжимали его при низком давлении p_0 — за расширение он «получил» гораздо больше, чем потом «заплатил».
Модуль работы газа в процессе 2–3 больше модуля работы внешних сил в процессе 4–1 (больше чем в 3 раза).
График цикла в осях p–V: обозначим V_0=\dfrac{RT_0}{p_0} — объём газа в состоянии 1. Тогда 1 — точка (V_0;\,p_0); 1–2 — вертикальный отрезок вверх при V=V_0 до точки 2 (V_0;\,6p_0) (изохора); 2–3 — дуга гиперболы (изотерма при T=6T_0) до точки 3 (2V_0;\,3p_0); 3–4 — вертикальный отрезок вниз при V=2V_0 до точки 4 (2V_0;\,p_0) (изохора); 4–1 — горизонтальный отрезок влево на уровне p_0 от 2V_0 до V_0 (изобара, сжатие).
Сравнение работ: в процессе 4–1 газ сжимают при постоянном давлении, поэтому модуль работы внешних сил |A_{41}|=p_0\,(2V_0-V_0)=p_0V_0. В процессе 2–3 газ изотермически расширяется от V_0 до 2V_0, и на всём этом участке его давление не ниже 3p_0, поэтому площадь под изотермой (то есть работа газа) больше площади прямоугольника 3p_0\cdot V_0=3p_0V_0: A_{23}\gt3p_0V_0=3|A_{41}|.