ID: 00026320
Один моль гелия участвует в циклическом процессе 1–2–3–4–1, график которого изображён на рисунке в координатах p – T , где р – давление газа, Т – абсолютная температура. Опираясь на законы молекулярной физики и термодинамики, сравните модуль работы газа в процессе 2–3 и модуль работы внешних сил в процессе 4–1. Постройте график цикла в координатах p – V , где р – давление газа, V – объём газа.
Источник: ФИПИ
Сначала прочитаем рисунок. Оси такие: по вертикали давление $p$, по горизонтали абсолютная температура $T$. Снимаем координаты точек: 1 — $(T_0;\,p_0)$, 2 — $(6T_0;\,6p_0)$, 3 — $(6T_0;\,3p_0)$, 4 — $(2T_0;\,p_0)$. Точки 1 и 2 лежат на одном луче, выходящем из начала координат, точки 4 и 3 — на другом, тоже из начала координат. Участок 2–3 вертикальный, участок 4–1 горизонтальный.
Теперь главное — как читать такую диаграмму. Гелий разреженный, значит его можно считать идеальным газом, и работает уравнение состояния $pV=\nu RT$ при $\nu=1$ моль. Перепишем его в виде $$p=\frac{\nu R}{V}\,T.$$ Отсюда виден важный признак: если объём постоянен, то $p$ прямо пропорционально $T$, то есть на диаграмме $p$–$T$ изохора — это прямая, проходящая через начало координат, и чем больше объём, тем меньше наклон такой прямой. Вертикальная линия на $p$–$T$ — это $T=\text{const}$, изотерма. Горизонтальная линия — $p=\text{const}$, изобара. Ещё нам понадобится, что работа газа при постоянном давлении равна $A=p\,\Delta V$, а в общем случае работа газа численно равна площади под графиком процесса на диаграмме $p$–$V$.
Шаг 1 — расшифровываем участки. 1–2: луч из начала координат, значит изохора; обозначим этот объём $V_0$. Из состояния 1 находим $V_0=\dfrac{\nu RT_0}{p_0}=\dfrac{RT_0}{p_0}$. 2–3: вертикаль при $T=6T_0$, значит изотерма; давление падает с $6p_0$ до $3p_0$, то есть вдвое, поэтому по закону Бойля—Мариотта объём вырастает вдвое: $V_3=2V_0$. 3–4: второй луч из начала координат, значит изохора при $V=2V_0$; проверим точку 4: $V_4=\dfrac{\nu R\cdot2T_0}{p_0}=2V_0$ — сходится. 4–1: горизонталь при $p=p_0$, значит изобара; объём меняется от $2V_0$ до $V_0$, то есть газ сжимается.
Шаг 2 — строим цикл в осях $p$–$V$. Ставим точку 1 в $(V_0;\,p_0)$. Изохора 1–2 — вертикальный отрезок вверх до $(V_0;\,6p_0)$. Изотерма 2–3 — плавно спадающая дуга гиперболы $p=\dfrac{\text{const}}{V}$ вправо до точки $(2V_0;\,3p_0)$. Изохора 3–4 — вертикальный отрезок вниз до $(2V_0;\,p_0)$. Изобара 4–1 — горизонтальный отрезок влево на уровне $p_0$ обратно в точку 1. Цикл замкнулся.
Шаг 3 — считаем работу внешних сил в процессе 4–1. Давление постоянно, поэтому работа газа равна $A_{41}=p_0\,(V_1-V_4)=p_0\,(V_0-2V_0)=-p_0V_0$. Она отрицательна, потому что газ сжимают; значит работу совершают внешние силы, и её модуль равен $$|A_{41}|=p_0V_0.$$
Шаг 4 — оцениваем работу газа в процессе 2–3. Здесь давление не постоянно, простой формулы $p\Delta V$ нет, зато есть графический смысл: работа газа равна площади под изотермой на диаграмме $p$–$V$ в интервале от $V_0$ до $2V_0$. Изотерма идёт от уровня $6p_0$ до уровня $3p_0$, то есть на всём этом интервале давление газа не меньше $3p_0$. Значит площадь под изотермой больше площади прямоугольника той же ширины $V_0$ и высоты $3p_0$: $$A_{23}\gt3p_0\cdot V_0=3p_0V_0.$$
Шаг 5 — сравниваем. Получили $|A_{41}|=p_0V_0$ и $A_{23}\gt3p_0V_0$, то есть $$A_{23}\gt3\,|A_{41}|.$$ Работа газа при изотермическом расширении 2–3 больше работы внешних сил при изобарном сжатии 4–1 более чем втрое.
И всё сходится по смыслу: газ расширялся на том же самом интервале объёмов, что и сжимался, но расширялся он при высоких давлениях (от $6p_0$ до $3p_0$), а сжимали его при низком давлении $p_0$ — за расширение он «получил» гораздо больше, чем потом «заплатил».
Модуль работы газа в процессе 2–3 больше модуля работы внешних сил в процессе 4–1 (больше чем в 3 раза).
График цикла в осях $p$–$V$: обозначим $V_0=\dfrac{RT_0}{p_0}$ — объём газа в состоянии 1. Тогда 1 — точка $(V_0;\,p_0)$; 1–2 — вертикальный отрезок вверх при $V=V_0$ до точки 2 $(V_0;\,6p_0)$ (изохора); 2–3 — дуга гиперболы (изотерма при $T=6T_0$) до точки 3 $(2V_0;\,3p_0)$; 3–4 — вертикальный отрезок вниз при $V=2V_0$ до точки 4 $(2V_0;\,p_0)$ (изохора); 4–1 — горизонтальный отрезок влево на уровне $p_0$ от $2V_0$ до $V_0$ (изобара, сжатие).
Сравнение работ: в процессе 4–1 газ сжимают при постоянном давлении, поэтому модуль работы внешних сил $|A_{41}|=p_0\,(2V_0-V_0)=p_0V_0$. В процессе 2–3 газ изотермически расширяется от $V_0$ до $2V_0$, и на всём этом участке его давление не ниже $3p_0$, поэтому площадь под изотермой (то есть работа газа) больше площади прямоугольника $3p_0\cdot V_0=3p_0V_0$: $A_{23}\gt3p_0V_0=3|A_{41}|$.