Механика (нет в… — Задание 21 ЕГЭ по физике №00016538

Стержень скользит по гладкой половине стола и въезжает на шероховатую вдоль своей длины. Трение действует только на ту часть стержня, которая уже заехала на шероховатую поверхность, поэтому тормозящая сила меняется по ходу движения. Ось $OX$ направлена вдоль стержня по скорости, так что при торможении проекция ускорения отрицательна.

Этап 1 ($0\lt t\lt t_1$). Стержень целиком на гладкой половине. Горизонтальных сил нет, сила тяжести уравновешена силой реакции стола. По второму закону Ньютона $a_x=0$: стержень едет равномерно. На графике — отрезок на оси времени.

Этап 2 ($t_1\lt t\lt t_2$). Стержень частично заехал на шероховатую половину. Пусть длина заехавшей части $x$, длина всего стержня $L$, масса $m$. Стержень однородный, поэтому на шероховатой половине лежит доля массы $\frac{x}{L}$, и на стол там давит такая же доля веса. Сила трения скольжения пропорциональна силе нормального давления:

$$F_{\text{тр}}=\mu\cdot\dfrac{x}{L}\,mg$$

По второму закону Ньютона

$$a_x=-\dfrac{F_{\text{тр}}}{m}=-\dfrac{\mu g}{L}\,x$$

Ускорение пропорционально длине $x$, а не времени. Сама же $x$ растёт всё медленнее, потому что стержень тормозит, — значит, и график $a_x(t)$ на этом участке не прямая. Зависимость «ускорение пропорционально смещению со знаком минус» — это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой $\omega=\sqrt{\dfrac{\mu g}{L}}$. Поэтому $x=\dfrac{\upsilon_0}{\omega}\sin\omega(t-t_1)$, где $\upsilon_0$ — скорость в момент $t_1$, а $a_x$ меняется по дуге синусоиды: от $0$ в момент $t_1$ до $-\mu g$ в момент $t_2$, когда $x=L$. Модуль ускорения сначала растёт быстро, потом всё медленнее.

Этап 3 ($t_2\lt t\lt t_3$). Стержень целиком на шероховатой половине. Теперь трение действует на весь стержень и не меняется: $F_{\text{тр}}=\mu mg$, поэтому

$$a_x=-\mu g$$

На графике — горизонтальный отрезок на уровне $-\mu g$; он начинается там, где закончилась дуга, без скачка.

Момент $t_3$. Стержень остановился. Трение скольжения пропало, других горизонтальных сил нет, поэтому ускорение скачком становится равным нулю и дальше остаётся нулевым. Это разрыв графика.

Особые точки, которые надо подписать на осях: $t_1$ — излом, начало дуги ($a_x=0$); $t_2$ — излом, конец дуги и начало горизонтального отрезка ($a_x=-\mu g$); $t_3$ — скачок от $-\mu g$ к $0$.