Динамика

Задание №6. Механика. Установление Соответствия

№2. Задание 6

ID: 00016490

В результате торможения в верхних слоях атмосферы высота полёта искусственного спутника над Землёй уменьшается с $$400$$ до $$300$$ км. Как изменяются в результате этого кинетическая энергия спутника и период его обращения?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1) увеличивается
2) уменьшается
3) не изменяется

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

А) кинетическая энергия спутника Б) период обращения спутника

Источник: Сборник «Отличный Результат 2026»

Решение

Идея

Спутник летает по круговой орбите, и удерживает его на ней сила тяготения Земли — она же играет роль центростремительной силы. Из этого равенства вытащим, как скорость и период зависят от радиуса орбиты. Высота уменьшается, значит радиус орбиты $$r$$ (расстояние от центра Земли) тоже уменьшается — а дальше смотрим, что от $$r$$ зависит и в какую сторону.

Считаем

На орбите сила тяготения равна центростремительной:

$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\;\Rightarrow\;v^2=\frac{GM}{r}$

А) Кинетическая энергия. $E_k=\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{GMm}{2r}$ . Радиус $$r$$ уменьшился (спутник опустился ниже) → знаменатель меньше → $$E_k$$ увеличивается → 1. (Интуиция: чем ниже орбита, тем быстрее летит спутник.)

Б) Период обращения. Период связан с радиусом по третьему закону Кеплера: $T=\dfrac{2\pi r}{v}=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}$ . Радиус $$r$$ уменьшился → подкоренное выражение меньше → период $$T$$ уменьшается → 2.