ID: 00016160
В вертикальном цилиндре с гладкими стенками, открытом сверху, под поршнем находится одноатомный идеальный газ. В начальном состоянии поршень массой $M$ и площадью основания $S$ покоится на высоте $h$, опираясь на выступы (см. рис. 1). Давление газа $p_0$ равно внешнему атмосферному. Какое количество теплоты $Q$ нужно сообщить газу при медленном его нагревании, чтобы поршень оказался на высоте $H$ (см. рис. 2)? Тепловыми потерями пренебречь.
Источник: Сборник Гиголо
Нагрев идёт в два этапа. Сначала поршень лежит на выступах — объём не меняется, растёт только давление (изохора). Как только давление подрастёт настолько, что газ сможет поднять поршень, начинается второй этап — поршень плавно едет вверх при постоянном давлении (изобара). Считаем тепло на каждом этапе по первому закону, газ одноатомный: $U=\tfrac{3}{2}pV$.
Пока поршень на выступах, $V=Sh=const$. Поршень оторвётся, когда давление газа уравновесит атмосферу и вес: $p_1 S = p_0 S + Mg$, то есть $p_1 = p_0 + \dfrac{Mg}{S}$. Работа на изохоре нулевая, поэтому всё тепло идёт во внутреннюю энергию: $Q_1=\Delta U = \dfrac{3}{2}(p_1-p_0)Sh = \dfrac{3}{2}Mgh$.
Теперь давление держится постоянным $p_1$, объём растёт от $Sh$ до $SH$. На изобаре тепло удобно считать сразу как $Q_2=\dfrac{5}{2}p_1\,\Delta V = \dfrac{5}{2}p_1 S(H-h)$ (это $\Delta U + A$). Подставляя $p_1 S = Mg+p_0 S$, получаем $Q_2=\dfrac{5}{2}(Mg+p_0 S)(H-h)$.
$Q=Q_1+Q_2 = \dfrac{3}{2}Mgh + \dfrac{5}{2}(Mg+p_0 S)(H-h).$
Q = (3/2)·Mgh + (5/2)·(Mg + p₀S)·(H − h)