ID: 00016136
Небольшое тело начинает скользить без начальной скорости с высоты $H=2{,}16$ м по жёсткому наклонному жёлобу, имеющему горизонтальный участок, который затем переходит в полуокружность радиусом $H/2$ (см. рисунок). Жёлоб закреплён в вертикальной плоскости, все его участки плавно состыкованы. Через какое время после отрыва от жёлоба модуль скорости тела будет минимальным? Трение отсутствует. Обоснуйте применимость используемых законов. Ответ дайте в секундах.
Источник: ФИПИ
Тело скатывается, влетает в петлю (полуокружность) и в какой-то точке отрывается от жёлоба. После отрыва оно летит свободно (как брошенное тело), и его скорость минимальна в верхней точке этого полёта, когда вертикальная составляющая скорости обращается в ноль. Значит надо найти скорость и её направление в момент отрыва, а потом время до обнуления вертикальной составляющей.
Радиус петли $R=H/2=1{,}08$ м. Тело отрывается, когда реакция опоры $N=0$, то есть вес целиком идёт на центростремительное ускорение: $mg\cos\beta=\dfrac{mv^2}{R}$, где $\beta$ — угол радиуса к вертикали. Энергия: $v^2=v_0^2-2gy$, $v_0^2=2gH$. Высота точки на петле $y=R+R\cos\beta$. Подставляя, получаем $v_0^2-2gR=3gR\cos\beta$, откуда $\cos\beta=\dfrac{2gH-2gR}{3gR}=\dfrac{2H-2R}{3R}=\dfrac{2\cdot2{,}16-2\cdot1{,}08}{3\cdot1{,}08}=\dfrac23$.
$v^2=gR\cos\beta=10\cdot1{,}08\cdot\dfrac23=7{,}2$, $v\approx2{,}68$ м/с.
В момент отрыва скорость направлена по касательной; её вертикальная (вверх) составляющая $v_y=v\sin\beta$. После отрыва тело — снаряд, скорость минимальна, когда $v_y$ обнулится: $t=\dfrac{v_y}{g}=\dfrac{v\sin\beta}{g}$. Так как $\cos\beta=\frac23$, то $\sin\beta=\dfrac{\sqrt5}{3}$... проверим числом: $v_y=v\sin\beta=2{,}68\cdot0{,}745=2{,}0$ м/с, тогда $t=\dfrac{2{,}0}{10}=0{,}2$ с.
Трения нет, поэтому на жёлобе сохраняется механическая энергия. Тело — материальная точка. Момент отрыва определяется условием $N=0$: опора больше не давит, и центростремительное ускорение создаётся только проекцией силы тяжести. После отрыва на тело действует лишь сила тяжести — это свободный полёт, где горизонтальная скорость постоянна, а минимум модуля скорости достигается в высшей точке, когда вертикальная составляющая равна нулю.
0,2