Идея

Тело скатывается, влетает в петлю (полуокружность) и в какой-то точке отрывается от жёлоба. После отрыва оно летит свободно (как брошенное тело), и его скорость минимальна в верхней точке этого полёта, когда вертикальная составляющая скорости обращается в ноль. Значит надо найти скорость и её направление в момент отрыва, а потом время до обнуления вертикальной составляющей.

Шаг 1. Где отрыв

Радиус петли R=H/2=1{,}08 м. Тело отрывается, когда реакция опоры N=0, то есть вес целиком идёт на центростремительное ускорение: mg\cos\beta=\dfrac{mv^2}{R}, где \beta — угол радиуса к вертикали. Энергия: v^2=v_0^2-2gy, v_0^2=2gH. Высота точки на петле y=R+R\cos\beta. Подставляя, получаем v_0^2-2gR=3gR\cos\beta, откуда \cos\beta=\dfrac{2gH-2gR}{3gR}=\dfrac{2H-2R}{3R}=\dfrac{2\cdot2{,}16-2\cdot1{,}08}{3\cdot1{,}08}=\dfrac23.

Шаг 2. Скорость в момент отрыва

v^2=gR\cos\beta=10\cdot1{,}08\cdot\dfrac23=7{,}2, v\approx2{,}68 м/с.

Шаг 3. Время до минимума скорости

В момент отрыва скорость направлена по касательной; её вертикальная (вверх) составляющая v_y=v\sin\beta. После отрыва тело — снаряд, скорость минимальна, когда v_y обнулится: t=\dfrac{v_y}{g}=\dfrac{v\sin\beta}{g}. Так как \cos\beta=\frac23, то \sin\beta=\dfrac{\sqrt5}{3}... проверим числом: v_y=v\sin\beta=2{,}68\cdot0{,}745=2{,}0 м/с, тогда t=\dfrac{2{,}0}{10}=0{,}2 с.

Обоснование

Трения нет, поэтому на жёлобе сохраняется механическая энергия. Тело — материальная точка. Момент отрыва определяется условием N=0: опора больше не давит, и центростремительное ускорение создаётся только проекцией силы тяжести. После отрыва на тело действует лишь сила тяжести — это свободный полёт, где горизонтальная скорость постоянна, а минимум модуля скорости достигается в высшей точке, когда вертикальная составляющая равна нулю.

Ответ: 0,2 с.