Задание 26 ЕГЭ по физике №00016135

Идея

Шарик свободно падает (только сила тяжести), значит работает сохранение энергии. Удар о наклонную доску абсолютно упругий — модуль скорости не меняется, но направление отражается, как от зеркала. Главный момент: после удара только часть скорости направлена вверх, и именно она определяет, на какую высоту шарик поднимется.

Шаг 1. Скорость перед ударом

Падая с высоты $H$ до точки удара на высоте $h=1$ м, шарик набирает скорость $v$ (направлена вертикально вниз): $v^2=2g(H-h)$.

Шаг 2. Отражение от доски

Доска наклонена под $\alpha=30^\circ$. При упругом ударе скорость отражается относительно плоскости доски. Вертикальная скорость «вниз» после отражения становится скоростью под углом; её вертикальная (вверх) составляющая равна $v_y=v\sin 2\alpha=v\sin 60^\circ$ (геометрия отражения вертикального луча от плоскости под углом $\alpha$ даёт отклонение на $2\alpha$). Тогда $v_y=v\sin 60^\circ$, и $v_y^2=v^2\sin^2 60^\circ=\frac34 v^2$.

Шаг 3. Подъём и высота H

После удара шарик поднимается над точкой удара на $h_1-h=1{,}25-1=0{,}25$ м за счёт вертикальной скорости: $h_1-h=\dfrac{v_y^2}{2g}=\dfrac34\cdot\dfrac{v^2}{2g}=\dfrac34(H-h)$. Отсюда $0{,}25=\dfrac34(H-1)$, значит $H-1=\dfrac13$... — проверим аккуратно: $H-h=\dfrac{h_1-h}{\sin^2 60^\circ}=\dfrac{0{,}25}{3/4}\cdot$... нет: $h_1-h=\frac34(H-h)\Rightarrow H-h=\frac{4}{3}\cdot$? Возьмём точную долю вертикальной скорости. Для $\alpha=30^\circ$ доля вертикальной (вверх) составляющей равна $\sin(90^\circ-2\alpha)=\cos 60^\circ=0{,}5$, поэтому $h_1-h=0{,}5^2(H-h)=\frac14(H-h)$, откуда $H-h=4\cdot0{,}25=1$ м и $H=1+1=2$ м.

Обоснование

Сопротивление воздуха отсутствует, поэтому при свободном падении и подъёме сохраняется механическая энергия, а скорость связана с высотой через $v^2=2gh$. Шарик — материальная точка. Удар абсолютно упругий: модуль скорости сохраняется, а направление меняется по закону отражения от плоскости (угол падения равен углу отражения относительно поверхности доски). Это позволяет найти вертикальную составляющую скорости после удара и высоту подъёма.