Задание 26 ЕГЭ по физике №00016126

Идея

Два этапа. Сначала по дальности полёта шарика как тела, брошенного под углом, найдём скорость вылета из ствола. Потом — энергия: запасённая в пружине энергия идёт на кинетическую энергию шарика плюс на подъём шарика вдоль ствола (он же наклонён) на длину ствола $b$.

Шаг 1. Скорость вылета

Шарик вылетает под углом $\alpha=30^\circ$ и падает на той же высоте на расстоянии $L=1$ м. Дальность броска: $L=\dfrac{\upsilon^2\sin2\alpha}{g}$, откуда $\upsilon^2=\dfrac{Lg}{\sin2\alpha}=\dfrac{1\cdot10}{\sin60^\circ}=\dfrac{10}{0{,}866}\approx11{,}55$ м²/с².

Шаг 2. Энергия пружины

Пока шарик идёт по стволу длиной $b$ (вдоль наклона), он поднимается на высоту $b\sin\alpha$. Энергия пружины распределяется на кинетическую энергию и на прирост потенциальной: $E=\dfrac{m\upsilon^2}{2}+mg\,b\sin\alpha$. Выразим $b$: $b=\dfrac{E-\dfrac{m\upsilon^2}{2}}{mg\sin\alpha}$.

Считаем

$\dfrac{m\upsilon^2}{2}=\dfrac{0{,}05\cdot11{,}55}{2}\approx0{,}289$ Дж. Тогда числитель $0{,}41-0{,}289=0{,}121$ Дж. Знаменатель $mg\sin\alpha=0{,}05\cdot10\cdot0{,}5=0{,}25$ Н. Итого $b=\dfrac{0{,}121}{0{,}25}\approx0{,}485$ м.

Обоснование

Трением в стволе и сопротивлением воздуха пренебрегаем — значит механическая энергия сохраняется, и вся энергия пружины переходит в кинетическую энергию шарика плюс прирост его потенциальной энергии на длине ствола (поэтому записываем именно баланс энергии). После вылета на шарик действует только сила тяжести — это движение тела, брошенного под углом, для которого справедлива формула дальности $L=\upsilon^2\sin2\alpha/g$ (точки старта и падения на одной высоте). Шарик считаем материальной точкой.