ID: 00016077
Шар массой M=2 кг, подвешенный на нити длиной L=40 см, отводят от положения равновесия на угол 60^\circ и отпускают. В момент прохождения шаром положения равновесия в него попадает пуля массой m=20 г, летящая навстречу шару со скоростью 200 м/с. Она пробивает его и продолжает двигаться горизонтально со скоростью 100 м/с, после чего шар продолжает движение в прежнем направлении. Найдите косинус максимального угла отклонения нити с шаром от вертикали.
Источник: ФИПИ
Пробивание шара пулей — мгновенный удар, за это время тяжесть и натяжение нити дать импульс не успевают, поэтому в горизонтальном направлении сохраняется импульс системы «пуля + шар». Шар — материальная точка, нить нерастяжима и невесома, трения нет — значит после удара его подъём описывается законом сохранения энергии.
Из закона сохранения импульса находим скорость шара сразу после удара, а из закона сохранения энергии — на какой угол он поднимется.
Шар спустился с 60^\circ: v_0=\sqrt{2gL(1-\cos 60^\circ)}=\sqrt{2\cdot10\cdot0{,}4\cdot0{,}5}=2 м/с (движется навстречу пуле).
Ось — вдоль полёта пули (плюс). До: пуля +mv_{\text{п}}=0{,}02\cdot200, шар -Mv_0=-2\cdot2. После: пуля +m\cdot100, шар +MV. Тогда 0{,}02\cdot200-2\cdot2=0{,}02\cdot100+2V, откуда V=-1 м/с — шар после удара движется со скоростью 1 м/с (в прежнем направлении, как и сказано в условии).
Энергия: \tfrac12 V^2 = gL(1-\cos\theta), значит \cos\theta = 1-\dfrac{V^2}{2gL}=1-\dfrac{1^2}{2\cdot10\cdot0{,}4}=1-0{,}125=0{,}875.
Ответ: 0,875.
0,875