ID: 00016077
Шар массой $M=2$ кг, подвешенный на нити длиной $L=40$ см, отводят от положения равновесия на угол $60^\circ$ и отпускают. В момент прохождения шаром положения равновесия в него попадает пуля массой $m=20$ г, летящая навстречу шару со скоростью $200$ м/с. Она пробивает его и продолжает двигаться горизонтально со скоростью $100$ м/с, после чего шар продолжает движение в прежнем направлении. Найдите косинус максимального угла отклонения нити с шаром от вертикали.
Источник: ФИПИ
Пробивание шара пулей — мгновенный удар, за это время тяжесть и натяжение нити дать импульс не успевают, поэтому в горизонтальном направлении сохраняется импульс системы «пуля + шар». Шар — материальная точка, нить нерастяжима и невесома, трения нет — значит после удара его подъём описывается законом сохранения энергии.
Из закона сохранения импульса находим скорость шара сразу после удара, а из закона сохранения энергии — на какой угол он поднимется.
Шар спустился с $60^\circ$: $v_0=\sqrt{2gL(1-\cos 60^\circ)}=\sqrt{2\cdot10\cdot0{,}4\cdot0{,}5}=2$ м/с (движется навстречу пуле).
Ось — вдоль полёта пули (плюс). До: пуля $+mv_{\text{п}}=0{,}02\cdot200$, шар $-Mv_0=-2\cdot2$. После: пуля $+m\cdot100$, шар $+MV$. Тогда $0{,}02\cdot200-2\cdot2=0{,}02\cdot100+2V$, откуда $V=-1$ м/с — шар после удара движется со скоростью $1$ м/с (в прежнем направлении, как и сказано в условии).
Энергия: $\tfrac12 V^2 = gL(1-\cos\theta)$, значит $\cos\theta = 1-\dfrac{V^2}{2gL}=1-\dfrac{1^2}{2\cdot10\cdot0{,}4}=1-0{,}125=0{,}875$.
0,875