Задание 26 ЕГЭ по физике №00016073

Тут три этапа движения: свободное падение до жёлоба, «разворот» скорости в жёлобе (тело и подставка расходятся в стороны) и, наконец, удар о пружину. Пройдём по ним по очереди, на каждом этапе выбирая свой закон сохранения.

Падение до жёлоба. Тело падает без начальной скорости с высоты $h=1$ м, а входит в жёлоб на высоте $R=h/2=0{,}5$ м, то есть успевает пролететь $h-R=0{,}5$ м. Скорость на входе — по обычной формуле свободного падения: $$v=\sqrt{2g(h-R)}=\sqrt{2\cdot10\cdot0{,}5}=\sqrt{10}\approx3{,}16\ \text{м/с (вертикально вниз)}.$$

Что происходит в жёлобе. Жёлоб гладкий (без трения) и вырезан в подставке, которая сама может скользить без трения по полу. Значит, для системы «тело + подставка» справедливы сразу два закона: горизонтальный импульс сохраняется, а механическая энергия не теряется (трения нигде нет). До падения оба покоились, поэтому горизонтальный импульс системы был и остаётся нулевым: $$mu+MW=0\ \Rightarrow\ W=-\dfrac{m}{M}u,$$ где $u$ — горизонтальная скорость тела на выходе из жёлоба, $W$ — скорость подставки (в другую сторону). Энергия: тело спускается ещё на $R$, теряя высоту, и вся эта потенциальная энергия вместе с исходной кинетической переходит в кинетическую энергию обоих тел: $$\dfrac{mv^2}{2}+mgR=\dfrac{mu^2}{2}+\dfrac{MW^2}{2}.$$ Подставляем числа ($m=0{,}1$ кг, $M=0{,}3$ кг): слева $0{,}5+0{,}5=1{,}0$ Дж; справа, заменив $W=-u/3$: $0{,}05u^2+0{,}15\cdot\dfrac{u^2}{9}=0{,}0667u^2$. Отсюда $u^2=15$, $u\approx3{,}87$ м/с.

Удар о пружину. Дальше тело летит уже само по себе (горизонтально) и врезается в пружину. Вся его кинетическая энергия переходит в энергию сжатой пружины (пружина лёгкая, потерь нет): $$\dfrac{mu^2}{2}=\dfrac{kx^2}{2}\ \Rightarrow\ x=u\sqrt{\dfrac{m}{k}}=3{,}87\cdot\sqrt{\dfrac{0{,}1}{160}}\approx3{,}87\cdot0{,}025\approx0{,}097\ \text{м}.$$