Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00016015

Объектив фотоаппарата — собирающая линза с фокусным расстоянием $F$. Плёнка стоит ровно в фокальной плоскости, поэтому бесконечно удалённый предмет даёт на ней идеальную точку. Более близкий предмет фокусируется чуть дальше плёнки, и вместо точки на плёнке получается кружок размытия. Пока диаметр этого кружка не превышает допустимого $\delta$, изображение всё ещё считаем резким; искомое расстояние $d$ — это как раз граница, где кружок размытия дорастает ровно до $\delta$.

Пусть предмет находится на расстоянии $d\gg F$ от линзы, тогда изображение сместится за фокальную плоскость на небольшое $x$. По формуле тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{F+x}=\dfrac{1}{F}$, а при $d\gg F$ получаем $x\approx\dfrac{F^2}{d}$.

Из подобия треугольников (конус лучей, сходящихся в точку изображения за плёнкой, и его сечение плоскостью плёнки) диаметр кружка размытия $\delta$ связан с диаметром входного отверстия объектива $D$ как $\dfrac{\delta}{D}\approx\dfrac{x}{F}$, откуда $\delta\approx\dfrac{D\cdot x}{F}=\dfrac{D}{F}\cdot\dfrac{F^2}{d}=\dfrac{DF}{d}$.

Относительное отверстие объектива по определению — это отношение фокусного расстояния к диаметру входного отверстия: $K=\dfrac{F}{D}=4$, то есть $D=\dfrac{F}{K}$. Подставляя, получаем $\delta=\dfrac{F^2}{Kd}$, откуда искомое расстояние:

$d=\dfrac{F^2}{K\delta}$

Подставляем числа: $F=50$ мм$=0,05$ м, $K=4$, $\delta=0,05$ мм$=5\cdot10^{-5}$ м:

$d=\dfrac{(0,05)^2}{4\cdot5\cdot10^{-5}}=\dfrac{0,0025}{0,0002}=12,5$ м.

Все предметы дальше $12,5$ м от объектива дают на плёнке резкое изображение.