Задание 7 ЕГЭ по физике №00015692

Идея

Шар оторвётся, когда выталкивающая сила Архимеда сравняется с весом всего шара — оболочки плюс гелия внутри. Чем больше радиус, тем выгоднее: подъёмная сила (она зависит от объёма, $\sim r^3$) растёт быстрее, чем масса оболочки ($\sim r^2$). Поэтому существует минимальный радиус, при котором шар взлетает; ему и отвечает минимальная масса оболочки.

Шаг 1. Условие отрыва

$\rho_{\text{в}} V g = m_{\text{об}} g + \rho_{\text{He}} V g$. Масса оболочки $m_{\text{об}} = b\,S = b\cdot 4\pi r^2$, где $b = 1$ кг/м$^2$. Подставив $V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$ и сократив, получаем $(\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{He}})\dfrac{r}{3} = b$, откуда $r = \dfrac{3b}{\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{He}}}$.

Шаг 2. Плотности и масса

Плотности находим из уравнения Клапейрона–Менделеева $\rho = \dfrac{pM}{RT}$ при $p = 10^5$ Па, $T = 273$ К: для воздуха $\rho_{\text{в}} \approx 1{,}29$ кг/м$^3$, для гелия $\rho_{\text{He}} \approx 0{,}18$ кг/м$^3$. Тогда $r \approx 2{,}7$ м, и искомая масса оболочки $m_{\text{об}} = b\cdot 4\pi r^2 \approx 92$ кг.