ID: 00015479
В таблице показано, как изменялся заряд конденсатора с течением времени в колебательном контуре, подключённом к источнику переменного тока (см. рисунок).
При какой индуктивности катушки в контуре наступит резонанс при этой частоте колебаний, если ёмкость конденсатора равна $C=50$ пФ? Ответ дайте в миллигенри (мГн), округлив до целых.
Источник: Сборник Гиголо
Резонанс в контуре наступает, когда собственная частота колебаний контура совпадает с частотой внешнего источника. А это значит, что собственный период контура должен быть равен периоду тех колебаний заряда, что мы видим в таблице. Собственный период связан с индуктивностью и ёмкостью формулой Томсона: $T=2\pi\sqrt{LC}$. Значит, нам нужно сначала снять период $T$ из таблицы, а потом выразить из формулы $L$.
Смотрим, как ведёт себя заряд. В момент $t=0$ он максимален: $q=2\cdot10^{-9}$ Кл. Дальше он уменьшается, в $t=2$ мкс проходит через ноль, в $t=4$ мкс достигает минимума $q=-2\cdot10^{-9}$ Кл, в $t=6$ мкс снова ноль, и в $t=8$ мкс опять возвращается к максимуму $+2\cdot10^{-9}$ Кл. Полный цикл (от максимума до следующего максимума) занял от $0$ до $8$ мкс — это и есть период:
$T=8\cdot10^{-6}$ с.
Из формулы Томсона $T=2\pi\sqrt{LC}$ возводим обе части в квадрат: $T^{2}=4\pi^{2}LC$. Отсюда выражаем индуктивность:
$L=\dfrac{T^{2}}{4\pi^{2}C}$.
Подставляем $T=8\cdot10^{-6}$ с и $C=50\cdot10^{-12}$ Ф:
$L=\dfrac{(8\cdot10^{-6})^{2}}{4\pi^{2}\cdot 50\cdot10^{-12}}=\dfrac{64\cdot10^{-12}}{1{,}974\cdot10^{-9}}\approx 0{,}0324$ Гн.
Переводим в миллигенри: $0{,}0324$ Гн $=32{,}4$ мГн $\approx 32$ мГн.