ID: 00015474
Сила тока в идеальном колебательном контуре меняется со временем так, как показано на рисунке (см. рисунок). Определите заряд конденсатора в момент времени $t = 3$ мкс. Ответ выразите в мкКл и округлите до сотых.
Источник: Сборник Гиголо
В идеальном LC-контуре ток и заряд конденсатора колеблются по гармоническому закону, но сдвинуты по фазе на четверть периода: когда ток равен нулю, заряд максимален, и наоборот. Снимем с графика всё, что нужно: амплитуду тока $I_m = 0{,}6$ А и период $T = 8$ мкс (ток впервые возвращается к нулю и повторяет картину через 8 мкс).
Связь амплитуды тока и амплитуды заряда: $I_m = \omega q_m$, где $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ — циклическая частота. Отсюда амплитуда заряда $q_m = \dfrac{I_m}{\omega} = \dfrac{I_m T}{2\pi}$.
$q_m = \dfrac{I_m T}{2\pi} = \dfrac{0{,}6 \cdot 8\cdot 10^{-6}}{2\pi} \approx 7{,}6\cdot 10^{-7}$ Кл $\approx 0{,}76$ мкКл.
По графику в момент $t = 0$ ток равен нулю — значит, заряд в этот момент максимален, то есть заряд меняется по закону косинуса: $q(t) = q_m\cos(\omega t)$ (ток $I = q'(t)$ как раз даёт синус, что и видно на рисунке).
Найдём фазу: $\omega t = \dfrac{2\pi}{T}\,t = \dfrac{2\pi}{8}\cdot 3 = \dfrac{3\pi}{4}$ (это $135^\circ$). Тогда модуль заряда:
$|q| = q_m\left|\cos\dfrac{3\pi}{4}\right| = q_m\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}76 \cdot 0{,}707 \approx 0{,}54$ мкКл.
То же самое можно получить через закон сохранения энергии: $|q| = \sqrt{q_m^{2} - \left(\dfrac{I}{\omega}\right)^{2}}$, где $I = I_m\sin 135^\circ$ — даёт ровно $0{,}54$ мкКл.