ID: 00015472
На рисунке показана схема электрической цепи, состоящей из источника тока с ЭДС \varepsilon = 6 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом, двух резисторов с сопротивлениями R_1 = 8 Ом и R_2 = 3 Ом, конденсатора электроёмкостью C = 8 мкФ и катушки с индуктивностью L = 32 мкГн (см. рисунок).
В начальном состоянии ключ K длительное время замкнут. Какое количество теплоты выделится на резисторе R_2 после размыкания ключа K? Сопротивлением катушки пренебречь.
Ответ дайте в мкДж.
Источник: Сборник Гиголо
Тут две картинки сшиты в одну: сначала «спокойная» цепь с источником, а после щелчка ключа — отдельный замкнутый кусок, который сам себя разряжает. Разберём по очереди.
Главная мысль: пока ключ K замкнут очень давно, всё уже устаканилось — токи и напряжения не меняются. В таком установившемся режиме конденсатор ведёт себя как разрыв (ток через него не течёт, он просто заряжен до какого-то напряжения), а катушка — наоборот, как обычный провод (её сопротивлением велено пренебречь, а ЭДС самоиндукции при постоянном токе равна нулю).
Раз через конденсатор тока нет, ток идёт по одному кольцу: источник \to r \to ключ \to R_2 \to катушка L (как провод) \to R_1 \to обратно. Это последовательное соединение, поэтому ток один и тот же везде:
I_0 = \dfrac{\varepsilon}{r + R_2 + R_1} = \dfrac{6}{1 + 3 + 8} = 0{,}5 А.
Этот ток течёт и через катушку — запомним его, он нам нужен.
Конденсатор подключён своими обкладками так, что «перешагивает» через резистор R_2 и катушку L. Катушка — провод (на ней падения нет), значит напряжение на конденсаторе равно падению напряжения только на R_2:
U_C = I_0 R_2 = 0{,}5 \cdot 3 = 1{,}5 В.
Перед размыканием энергия спрятана в двух местах — в конденсаторе и в катушке:
W_C = \dfrac{C U_C^2}{2} = \dfrac{8\cdot10^{-6} \cdot 1{,}5^2}{2} = 9\cdot10^{-6} Дж = 9 мкДж,
W_L = \dfrac{L I_0^2}{2} = \dfrac{32\cdot10^{-6} \cdot 0{,}5^2}{2} = 4\cdot10^{-6} Дж = 4 мкДж.
Размыкаем ключ — источник отрезан. Смотрим, какое кольцо осталось живым. Резистор R_1 одним концом упирается в источник, а источник теперь «висит в воздухе» из-за разомкнутого ключа — то есть через R_1 току идти некуда, это тупик. А вот конденсатор, R_2 и катушка L образуют замкнутое кольцо. В нём и происходит затухающий перелив энергии (туда-сюда между C и L), а единственный резистор в этом кольце — R_2.
Значит вся запасённая энергия в итоге выделится теплом именно на R_2 (на R_1 — ноль, он отключён, а у катушки сопротивления нет):
Q_{R_2} = W_C + W_L = 9 + 4 = 13 мкДж.
Ответ: 13 мкДж.