ID: 00015472
На рисунке показана схема электрической цепи, состоящей из источника тока с ЭДС $\varepsilon = 6$ В и внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом, двух резисторов с сопротивлениями $R_1 = 8$ Ом и $R_2 = 3$ Ом, конденсатора электроёмкостью $C = 8$ мкФ и катушки с индуктивностью $L = 32$ мкГн (см. рисунок).
В начальном состоянии ключ $K$ длительное время замкнут. Какое количество теплоты выделится на резисторе $R_2$ после размыкания ключа $K$? Сопротивлением катушки пренебречь.
Ответ дайте в мкДж.
Источник: Сборник Гиголо
Тут две картинки сшиты в одну: сначала «спокойная» цепь с источником, а после щелчка ключа — отдельный замкнутый кусок, который сам себя разряжает. Разберём по очереди.
Главная мысль: пока ключ $K$ замкнут очень давно, всё уже устаканилось — токи и напряжения не меняются. В таком установившемся режиме конденсатор ведёт себя как разрыв (ток через него не течёт, он просто заряжен до какого-то напряжения), а катушка — наоборот, как обычный провод (её сопротивлением велено пренебречь, а ЭДС самоиндукции при постоянном токе равна нулю).
Раз через конденсатор тока нет, ток идёт по одному кольцу: источник $\to r \to$ ключ $\to R_2 \to$ катушка $L$ (как провод) $\to R_1 \to$ обратно. Это последовательное соединение, поэтому ток один и тот же везде:
$I_0 = \dfrac{\varepsilon}{r + R_2 + R_1} = \dfrac{6}{1 + 3 + 8} = 0{,}5$ А.
Этот ток течёт и через катушку — запомним его, он нам нужен.
Конденсатор подключён своими обкладками так, что «перешагивает» через резистор $R_2$ и катушку $L$. Катушка — провод (на ней падения нет), значит напряжение на конденсаторе равно падению напряжения только на $R_2$:
$U_C = I_0 R_2 = 0{,}5 \cdot 3 = 1{,}5$ В.
Перед размыканием энергия спрятана в двух местах — в конденсаторе и в катушке:
$W_C = \dfrac{C U_C^2}{2} = \dfrac{8\cdot10^{-6} \cdot 1{,}5^2}{2} = 9\cdot10^{-6}$ Дж $= 9$ мкДж,
$W_L = \dfrac{L I_0^2}{2} = \dfrac{32\cdot10^{-6} \cdot 0{,}5^2}{2} = 4\cdot10^{-6}$ Дж $= 4$ мкДж.
Размыкаем ключ — источник отрезан. Смотрим, какое кольцо осталось живым. Резистор $R_1$ одним концом упирается в источник, а источник теперь «висит в воздухе» из-за разомкнутого ключа — то есть через $R_1$ току идти некуда, это тупик. А вот конденсатор, $R_2$ и катушка $L$ образуют замкнутое кольцо. В нём и происходит затухающий перелив энергии (туда-сюда между $C$ и $L$), а единственный резистор в этом кольце — $R_2$.
Значит вся запасённая энергия в итоге выделится теплом именно на $R_2$ (на $R_1$ — ноль, он отключён, а у катушки сопротивления нет):
$Q_{R_2} = W_C + W_L = 9 + 4 = 13$ мкДж.