Электрические… — Задание 25 ЕГЭ по физике №00015400

Идея

Главная мысль такая: через конденсатор постоянный ток не течёт. Когда после замыкания ключа всё устаканится (установившийся режим), конденсатор просто «заряжен и сидит» — тока в его ветви ноль. Значит, для расчёта токов конденсатор можно мысленно убрать и работать с одной только резисторной цепью. А вот заряд на нём найдём в самом конце по формуле $q = C\,U_C$, где $U_C$ — напряжение между точками, к которым подключены обкладки конденсатора. Так что весь фокус — аккуратно найти потенциалы этих двух точек.

Шаг 1. Разбираем схему резисторов

Обозначим узлы. Верхняя точка слева от $R_1$ (к ней же подключена левая обкладка конденсатора) — это один полюс батареи, назовём его A. Правый узел, куда сходятся правые концы $R_2$ и $R_4$ и нижний провод от батареи через ключ, — это второй полюс, узел D. Между A и D батарея держит напряжение $U = 12$ В.

Дальше ток идёт от A через $R_1$ в узел B (это точка между $R_1$, $R_2$ и верхом $R_3$). Из B есть два пути к D:

— напрямую через $R_2$;
— через $R_3$ и дальше через $R_4$ (они идут друг за другом, то есть последовательно), и приходят в нижний узел E и затем в D.

Правая обкладка конденсатора подключена как раз к узлу E (точка между низом $R_3$ и левым концом $R_4$). Значит, напряжение на конденсаторе — это разность потенциалов между A и E.

Шаг 2. Считаем сопротивление цепи и общий ток

Сначала «складываем» $R_3$ и $R_4$ — они последовательны: $R_{34} = R_3 + R_4 = 2 + 4 = 6$ Ом.

Теперь между B и D параллельны две ветви: $R_2 = 1$ Ом и $R_{34} = 6$ Ом. Параллельное соединение считаем по формуле «произведение на сумму»:

$R_{BD} = \dfrac{R_2\,R_{34}}{R_2 + R_{34}} = \dfrac{1\cdot 6}{1 + 6} = \dfrac{6}{7}$ Ом.

Полное сопротивление цепи (внутреннее сопротивление батареи равно нулю): $R = R_1 + R_{BD} = 3 + \dfrac{6}{7} = \dfrac{27}{7}$ Ом.

Общий ток (он же ток через $R_1$): $I = \dfrac{U}{R} = \dfrac{12}{27/7} = \dfrac{84}{27} = \dfrac{28}{9}$ А $\approx 3{,}11$ А.

Шаг 3. Находим потенциалы узлов B и E

Удобно принять потенциал узла D за ноль: $\varphi_D = 0$, тогда $\varphi_A = U = 12$ В.

Напряжение между B и D — это падение на параллельном участке: $U_{BD} = I\,R_{BD} = \dfrac{28}{9}\cdot \dfrac{6}{7} = \dfrac{8}{3}$ В $\approx 2{,}67$ В. Значит, $\varphi_B = \dfrac{8}{3}$ В.

Через ветвь $R_3$–$R_4$ течёт ток $I_{34} = \dfrac{U_{BD}}{R_{34}} = \dfrac{8/3}{6} = \dfrac{4}{9}$ А. Тогда потенциал точки E (после $R_3$): $\varphi_E = \varphi_B - I_{34}\,R_3 = \dfrac{8}{3} - \dfrac{4}{9}\cdot 2 = \dfrac{16}{9}$ В $\approx 1{,}78$ В.

Проверка: с другой стороны $\varphi_E = I_{34}\,R_4 = \dfrac{4}{9}\cdot 4 = \dfrac{16}{9}$ В — сходится.

Шаг 4. Напряжение на конденсаторе и заряд

Левая обкладка конденсатора в точке A, правая — в точке E, поэтому $U_C = \varphi_A - \varphi_E = 12 - \dfrac{16}{9} = \dfrac{92}{9}$ В $\approx 10{,}2$ В.

Заряд: $q = C\,U_C = 1\text{ мкФ}\cdot \dfrac{92}{9}\text{ В} = \dfrac{92}{9} \approx 10{,}2$ мкКл.