Задание 7 ЕГЭ по физике №00015230

Задача на основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Давление газа связывает между собой две величины, которые как раз и отложены по осям графика: плотность газа и средний квадрат скорости его молекул.

Дано: график зависимости $\overline{v^2}$ от плотности $\rho$ для изобарного процесса (то есть процесса при постоянном давлении).

Найти: давление газа $p$.

Решение. Основное уравнение МКТ для идеального газа связывает давление с массой молекулы $m_0$, их концентрацией $n$ и средним квадратом скорости:

$$p=\frac{1}{3}m_0n\overline{v^2}.$$

Произведение массы одной молекулы на число молекул в единице объёма — это и есть плотность газа: $\rho=m_0n$ (столько килограммов вещества приходится на кубометр). Подставляем и получаем очень удобную форму того же уравнения:

$$p=\frac{1}{3}\rho\,\overline{v^2}.$$

Отсюда сразу видно, почему в изобарном процессе (при $p=\text{const}$) график $\overline{v^2}$ от $\rho$ — это гипербола: чем плотнее газ, тем медленнее в среднем движутся его молекулы, ведь их произведение обязано оставаться постоянным:

$$\rho\,\overline{v^2}=3p=\text{const}.$$

Что делать с графиком. Раз произведение $\rho\,\overline{v^2}$ одинаково в любой точке кривой, достаточно снять с графика одну-единственную точку — ту, где оба значения читаются проще всего, по узлу сетки. Записываем её плотность $\rho$ (в кг/м$^3$) и средний квадрат скорости $\overline{v^2}$ (в м$^2$/с$^2$), перемножаем и делим на три:

$$p=\frac{\rho\,\overline{v^2}}{3}.$$

Результат получится в паскалях; если в ответе просят килопаскали, разделите его ещё на $1000$.

Проверка себя. Полезно взять с кривой вторую точку и повторить расчёт: давление должно получиться то же самое. Если числа разошлись — значит одну из точек сняли неаккуратно. И проверьте размерность: килограмм на кубометр, умноженный на квадрат метра в секунду, даёт $\dfrac{\text{кг}}{\text{м}\cdot\text{с}^2}$ — это и есть паскаль.