ID: 00015184
Маленький шарик массой $m = 0{,}5$ кг подвешен на лёгкой нерастяжимой нити длиной $l = 0{,}8$ м, которая разрывается при силе натяжения $T_0 = 8{,}6$ Н. Шарик отведён от положения равновесия (оно показано на рисунке пунктиром) и отпущен. Когда шарик проходит положение равновесия, нить обрывается, и шарик тут же абсолютно неупруго сталкивается с бруском, лежащим неподвижно на гладкой горизонтальной поверхности стола. Скорость бруска после удара $v = 0{,}4$ м/с. Какова масса $M$ бруска? Считать, что брусок после удара движется поступательно.
Ответ дайте в килограммах (кг).
Источник: Сборник «Отличный Результат 2026»
Сначала найдём скорость шарика в нижней точке — в момент обрыва нить натянута максимально ($T_0$), а шарик движется по окружности, поэтому равнодействующая тяжести и натяжения даёт центростремительное ускорение. Зная скорость шарика, применяем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого удара шарика о брусок (они движутся вместе сразу после удара).
В нижней точке второй закон Ньютона по вертикали (к центру, вверх): $T_0 - mg = \dfrac{m v_\text{ш}^2}{l}$, откуда
$v_\text{ш} = \sqrt{\dfrac{l\,(T_0 - mg)}{m}} = \sqrt{\dfrac{0{,}8\,(8{,}6 - 5)}{0{,}5}} = \sqrt{5{,}76} = 2{,}4$ м/с.
Абсолютно неупругий удар, закон сохранения импульса: $m v_\text{ш} = (M + m)\,v$, откуда
$M = \dfrac{m v_\text{ш}}{v} - m = \dfrac{0{,}5\cdot 2{,}4}{0{,}4} - 0{,}5 = 3 - 0{,}5 = 2{,}5$ кг.