Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00014059

Дано:

$r = 2$ мм (раздвинули половины)
$l = 6$ мм (между изображениями)
$F = 40$ см $= 400$ мм

Найти:

$d$ — расстояние от источника до линзы

Решение:

Когда линзу разрезали и раздвинули половинки на $r$, каждая половинка работает как самостоятельная линза, но со сдвинутым оптическим центром: центры разъехались на расстояние $r$ (по $\tfrac{r}{2}$ в каждую сторону от оси). Поэтому точечный источник даёт два изображения — по одному от каждой половинки, и они разнесены на $l$.

Каждая половинка — это обычная собирающая линза с фокусом $F$, поэтому расстояние до изображения находим по формуле линзы:

$$\frac{1}{d}+\frac{1}{f}=\frac{1}{F}\;\Rightarrow\; f = \frac{dF}{d - F}.$$

Теперь геометрия сдвига. Луч, идущий через оптический центр половинки, не преломляется. Проведём такой луч от источника через каждый из двух центров (они разнесены на $r$). Эти лучи задают положения изображений, разнесённых на $l$. Источник, пара центров (расстояние $r$) и пара изображений (расстояние $l$) образуют подобные треугольники с общей вершиной в источнике:

$$\frac{l}{r} = \frac{d + f}{d}.$$

Подставим сюда $f = \dfrac{dF}{d-F}$ и упростим правую часть:

$$\frac{d+f}{d} = 1 + \frac{f}{d} = 1 + \frac{F}{d-F} = \frac{d}{d-F}.$$

Значит, $\dfrac{l}{r} = \dfrac{d}{d-F}$. Выразим расстояние до источника:

$$l\,(d - F) = r\,d \;\Rightarrow\; d\,(l - r) = lF \;\Rightarrow\; d = \frac{lF}{l - r}.$$

Подставим числа (всё в миллиметрах, $F = 400$ мм):

$$d = \frac{6\cdot 400}{6 - 2} = \frac{2400}{4} = 600\ \text{мм} = 60\ \text{см}.$$

На рисунке от источника проведены лучи через оба смещённых центра половинок — они не преломляются и указывают на два действительных изображения, разнесённых на $l$.