Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00014052

Дано:

$F = 30$ см
$AB = l = 2$ см (катет на оси)
$\alpha = 60°$ (угол гипотенузы с осью)
вершина $B$ — на двойном фокусе ($2F$)

Найти:

$\mathrm{tg}\,\beta$ — тангенс угла гипотенузы изображения

Решение:

Идея: тангенс угла гипотенузы — это отношение «высоты» треугольника к его «основанию» вдоль оси. У изображения это $\mathrm{tg}\,\beta = \dfrac{B_1C_1}{A_1B_1}$, где $B_1C_1$ — высота изображения вертикального катета, а $A_1B_1$ — длина изображения катета вдоль оси. Значит, нужно построить изображения двух точек $A$ и $B$ и понять, во что превратятся катеты.

Поставим точку $B$ на двойной фокус: $d_B = 2F = 60$ см. По формуле тонкой линзы её изображение лежит тоже на двойном фокусе, поэтому:

$$\frac{1}{d_B}+\frac{1}{f_B}=\frac{1}{F}\;\Rightarrow\; f_B = 2F = 60\ \text{см}.$$

Точка $A$ — на $2$ см ближе к линзе: $d_A = 60 - 2 = 58$ см. Её изображение:

$$f_A = \frac{d_A F}{d_A - F} = \frac{58\cdot 30}{58 - 30} = \frac{1740}{28} \approx 62{,}14\ \text{см}.$$

Значит, изображение катета вдоль оси (от $A_1$ до $B_1$) имеет длину:

$$A_1B_1 = f_A - f_B = 62{,}14 - 60 = 2{,}14\ \text{см}.$$

Теперь вертикальный катет $BC$. Сам он равен $BC = l\,\mathrm{tg}\,\alpha = 2\cdot\mathrm{tg}\,60° = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ см. Точка $B$ стоит на $2F$, где линза даёт увеличение, равное единице (изображение того же размера), поэтому высота изображения катета не изменится:

$$B_1C_1 = BC = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46\ \text{см}.$$

Осталось взять отношение высоты к основанию изображения:

$$\mathrm{tg}\,\beta = \frac{B_1C_1}{A_1B_1} = \frac{3{,}46}{2{,}14} \approx 1{,}62.$$

На рисунке построение выполнено стандартно: из вершины $C$ один луч идёт параллельно оси (после линзы — через задний фокус), другой — через оптический центр без преломления; их пересечение даёт $C_1$, а изображения $A_1,B_1$ лежат на оси.