МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00014045

Дано:

$H = 25$ м, $h = 5$ м
$V_2 = 7$ мм$^3$
$p_0 = 10^5$ Па
$T = \text{const}$

Найти:

$V_1$ — объём у дна

Решение:

Температура воздуха в пузырьке не меняется, значит, для газа в нём работает закон Бойля — Мариотта: произведение давления на объём постоянно. Поэтому достаточно знать давление в двух точках и один объём.

$$p_1 V_1 = p_2 V_2.$$

Давление на газ в пузырьке — это давление воды на данной глубине. Оно складывается из атмосферного (давит сверху на поверхность) и гидростатического столба воды над пузырьком (чем глубже, тем сильнее давит вода). У дна (глубина $H$):

$$p_1 = p_0 + \rho g H.$$

На расстоянии $h$ от поверхности глубина равна $h$, поэтому:

$$p_2 = p_0 + \rho g h.$$

Чем глубже пузырёк, тем больше давление и тем сильнее он сжат — поэтому у дна объём меньше. Выразим искомый объём из закона Бойля — Мариотта:

$$V_1 = \frac{p_2 V_2}{p_1} = V_2\cdot\frac{p_0 + \rho g h}{p_0 + \rho g H}.$$

Подставим числа ($\rho = 1000$ кг/м$^3$, $g = 10$ Н/кг):

$$V_1 = 7\cdot\frac{10^5 + 1000\cdot 10\cdot 5}{10^5 + 1000\cdot 10\cdot 25} = 7\cdot\frac{1{,}5\cdot10^5}{3{,}5\cdot10^5} = 3\ \text{мм}^3.$$