ID: 00012782
Тонкая палочка АВ длиной l = 10 см расположена параллельно главной оптической оси тонкой собирающей линзы на расстоянии h = 15 см от неё (см. рис.). Конец А палочки располагается на расстоянии а = 40 см от линзы. Постройте изображение палочки в линзе и определите его длину L. Фокусное расстояние линзы F = 20 cм.
Источник: ФИПИ
Стержень лежит параллельно главной оптической оси, поэтому его концы находятся на разном расстоянии от линзы — и их изображения получаются на разном расстоянии и с разным увеличением. Изображение стержня — это отрезок, соединяющий изображения концов; его длину найдём по теореме Пифагора через смещения вдоль оси и поперёк неё.
Изображения концов. Ближний конец A на расстоянии $a_A=40$ см: $v_A=\dfrac{F a_A}{a_A-F}=\dfrac{20\cdot40}{20}=40$ см, поперечное увеличение $|m_A|=\dfrac{v_A}{a_A}=1$. Дальний конец B на $a_B=40+10=50$ см: $v_B=\dfrac{20\cdot50}{30}\approx33{,}3$ см, $|m_B|=\dfrac{33{,}3}{50}\approx0{,}67$.
Подождите — стержень параллелен оси, значит его концы на ОДНОЙ высоте $h=15$ см, но на разном расстоянии вдоль оси. Тогда у концов разные продольные положения изображений и разные высоты изображений.
Координаты изображений концов. Возьмём концы на высоте $h=15$ см: ближний на $a_1=40$ см $\to v_1=40$ см, высота $h_1=h\,|m_1|=15\cdot1=15$ см; дальний на $a_2=30$ см (он на $10$ см ближе по оси, т.к. стержень параллелен оси) $\to v_2=\dfrac{20\cdot30}{10}=60$ см, $h_2=15\cdot\dfrac{60}{30}=30$ см.
Длина изображения. Изображение — отрезок между точками $(v_1,h_1)=(40,15)$ и $(v_2,h_2)=(60,30)$: $L=\sqrt{(60-40)^2+(30-15)^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25$ см.