ID: 00010846
В цилиндр объёмом 0,5 $м^3$ насосом закачивается воздух со скоростью 0,002 кг/с. В верхнем торце цилиндра есть отверстие, закрытое предохранительным клапаном. Клапан удерживается в закрытом состоянии стержнем, который может свободно поворачиваться вокруг оси в точке А (см. рис.).
К свободному концу стержня длиной 0,5 м подвешен груз массой 2 кг. Клапан открывается через 580 с работы насоса, если в начальный момент времени давление воздуха в цилиндре было равно атмосферному. Площадь закрытого клапаном отверстия 5⋅$10^{-4}$ $м^2$. Температура воздуха в цилиндре и снаружи не меняется и равна 300 К. Определите длину AB.
Источник: ФИПИ
Предохранительный клапан держит стержень-рычаг, который может поворачиваться вокруг оси A. С одной стороны рычаг прижимает клапан (газ снизу давит на клапан и старается его открыть), с другой — висит груз, который этот клапан удерживает. Клапан откроется, когда вращающий момент от давления газа сравняется с моментом груза.
Найдём давление газа к моменту открытия. За $580$ с в цилиндр накачали $\Delta m=0{,}002\cdot580=1{,}16$ кг воздуха. Начальная масса воздуха $m_0=\dfrac{p_0\mu V}{RT}=\dfrac{10^5\cdot0{,}029\cdot0{,}5}{8{,}31\cdot300}\approx0{,}58$ кг. Объём постоянен, температура постоянна, поэтому давление растёт пропорционально массе: $p=\dfrac{(m_0+\Delta m)RT}{\mu V}=\dfrac{1{,}74\cdot8{,}31\cdot300}{0{,}029\cdot0{,}5}\approx3{,}0\cdot10^5$ Па.
Найдём силу на клапан. Избыточное давление $\Delta p=p-p_0\approx2{,}0\cdot10^5$ Па давит на клапан площадью $S_{кл}$: $F=\Delta p\,S_{кл}=2{,}0\cdot10^5\cdot5\cdot10^{-4}\approx100$ Н.
Запишем правило моментов относительно оси A. Сила $F$ (плечо AB) открывает клапан, груз $mg$ (плечо $L=0{,}5$ м) держит: $F\cdot AB=mg\cdot L$. Отсюда $AB=\dfrac{mg\,L}{F}=\dfrac{2\cdot10\cdot0{,}5}{100}=0{,}1$ м.
0,1