ID: 00010675
В заштрихованной области на рисунке действует однородное магнитное поле, направленное перпендикулярно плоскости рисунка. Проводящую квадратную рамку, сопротивление которой 10 Ом и длина стороны 10 см, перемещают в плоскости рисунка в этом поле поступательно со скоростью v = 1 м/с.
При пересечении рамкой границы магнитного поля в рамке возникает индукционный ток, создающий тормозящую силу Ампера F = $10^{-5}$ Н. Чему равен модуль вектора индукции магнитного поля В? Ответ приведите в теслах.
Источник: ФИПИ
Разберёмся, что вообще происходит на рисунке. Есть область с однородным магнитным полем (закрашенный квадрат), поле смотрит за плоскость рисунка. Квадратная рамка едет с постоянной скоростью и в какой-то момент пересекает границу этой области: часть рамки уже в поле, часть ещё снаружи. Именно в этот момент магнитный поток через рамку меняется, в ней появляется индукционный ток, а на рамку с током в поле начинает действовать сила Ампера — она и тормозит рамку. Нам известна эта сила, а найти надо индукцию поля.
Соберём данные: сопротивление рамки $R = 10\ \text{Ом}$, сторона квадрата $a = 10\ \text{см} = 0{,}1\ \text{м}$, скорость $v = 1\ \text{м/с}$, тормозящая сила Ампера $F = 10^{-5}\ \text{Н}$. Найти нужно модуль индукции $B$.
Первое правило словами: когда проводник длиной $a$ движется поперёк поля со скоростью $v$, на его концах появляется ЭДС индукции, равная произведению индукции поля, длины проводника и скорости. Работает здесь только одна сторона рамки — та, что сейчас находится в поле и пересекает линии индукции; вторая сторона в это время вне поля и ЭДС не даёт. Поэтому
$$\varepsilon = B a v$$
Второе правило: рамка — это замкнутый контур с сопротивлением $R$, значит ток в ней находим по закону Ома для полной цепи, то есть делим ЭДС на сопротивление.
$$I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B a v}{R}$$
Третье правило: на сторону рамки длиной $a$, по которой течёт ток $I$ и которая находится в поле $B$ перпендикулярно линиям, действует сила Ампера, равная произведению $B$, $I$ и $a$. Это как раз та самая тормозящая сила, о которой говорится в условии.
$$F = B I a$$
Теперь подставим ток из формулы выше и увидим, что сила зависит от квадрата индукции — это удобно, потому что дальше мы просто извлечём корень.
$$F = B \cdot \frac{B a v}{R} \cdot a = \frac{B^2 a^2 v}{R}$$
Выражаем отсюда индукцию: переносим всё лишнее к силе и берём квадратный корень.
$$B = \sqrt{\frac{F R}{a^2 v}}$$
Осталась арифметика. В числителе $10^{-5}\cdot 10 = 10^{-4}$. В знаменателе $(0{,}1)^2 \cdot 1 = 0{,}01$. Делим: $10^{-4} : 0{,}01 = 0{,}01$. Корень из $0{,}01$ равен $0{,}1$.
$$B = \sqrt{\frac{10^{-5}\cdot 10}{(0{,}1)^2 \cdot 1}} = \sqrt{\frac{10^{-4}}{0{,}01}} = \sqrt{0{,}01} = 0{,}1\ \text{Тл}$$
Проверим по смыслу: поле около одной десятой тесла — это поле хорошего школьного магнита, а сила выходит в стотысячные доли ньютона, потому что сопротивление большое и ток получается крошечным. Всё сходится.