Решение
Дано:
$M$ — масса поршня; $S$ — площадь поршня; $h$ — начальная высота; $Q$ — сообщённая теплота; $p_0$ — атмосферное давление.
Найти:
$H$ — конечная высота поршня.
Решение:
Шаг 1.
Найдём давление газа из условия равновесия поршня (2-й закон Ньютона, ось вверх):
$$pS - Mg - p_0 S = 0 \implies p = \frac{Mg}{S} + p_0$$
Давление постоянно на протяжении всего процесса (изобарный процесс), так как масса поршня и атмосферное давление не меняются.
Шаг 2.
Работа газа при изобарном расширении:
$$A = p(V_2 - V_1) = pS(H - h)$$
Шаг 3.
Изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа. Из $PV = \nu RT$ следует $\nu R T = pV = pSh$. При изобарном процессе $\frac{V}{T} = \text{const}$, поэтому $\frac{H}{T_2} = \frac{h}{T_1}$. Изменение внутренней энергии:
$$\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T = \frac{3}{2} p S (H - h)$$
Шаг 4.
По первому началу термодинамики:
$$Q = \Delta U + A = \frac{3}{2}pS(H-h) + pS(H-h) = \frac{5}{2}pS(H-h)$$
$$H - h = \frac{2Q}{5pS}$$
$$H = h + \frac{2Q}{5pS} = h + \frac{2Q}{5\left(\dfrac{Mg}{S}+p_0\right)S} = h + \frac{2Q}{5(Mg + p_0 S)}$$
Подставляя $p$:
$$\boxed{H = h + \frac{2Q}{5(Mg + p_0 S)}}$$