МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00007716

Дано:

$\nu = \dfrac{1}{20} = 0{,}05$ моль — гелий (молярная масса $M = 4 \cdot 10^{-3}$ кг/моль)

$F_1 = 280$ Н, $u_1 = 1400$ м/с — сила на поршне и среднеквадратичная скорость в начале

$F_2 = 150$ Н, $u_2 = 1200$ м/с — то же в конце; внешним давлением пренебрегаем

Найти:

$\Delta l$ — расстояние, на которое сдвинулся поршень

Решение:

Поршень в равновесии, внешним давлением пренебрегаем, поэтому давление газа создаёт силу на поршень: $p = \dfrac{F}{S}$, где $S$ — площадь поршня.

Уравнение состояния идеального газа $pV = \nu R T$, причём объём $V = S l$ ($l$ — длина газового столба). Тогда:

$$\frac{F}{S} \cdot S l = \nu R T \quad\Rightarrow\quad F l = \nu R T.$$

Среднеквадратичная скорость связана с температурой: $u = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}}$, откуда $T = \dfrac{M u^2}{3R}$. Подставляем:

$$F l = \nu R \cdot \frac{M u^2}{3R} = \frac{\nu M u^2}{3} \quad\Rightarrow\quad l = \frac{\nu M u^2}{3F}.$$

Сдвиг поршня — разность длин газового столба:

$$\Delta l = l_2 - l_1 = \frac{\nu M}{3}\left(\frac{u_2^2}{F_2} - \frac{u_1^2}{F_1}\right).$$

$$\Delta l = \frac{0{,}05 \cdot 4 \cdot 10^{-3}}{3}\left(\frac{1200^2}{150} - \frac{1400^2}{280}\right) = 6{,}67 \cdot 10^{-5} \cdot (9600 - 7000) \approx 0{,}17\ \text{м} = 17\ \text{см}.$$