ID: 00007693
Поршень может свободно без трения перемещаться вдоль стенок горизонтального цилиндрического сосуда. В объёме, ограниченном дном сосуда и поршнем, находится воздух. Площадь поперечного сечения сосуда равна 20 $см^2$, расстояние от дна сосуда до поршня равно 25 $см$, атмосферное давление 100 $кПа$, давление воздуха в сосуде равно атмосферному. Поршень медленно перемещают на 5 $см$ влево, при этом температура воздуха не меняется. Какую силу требуется приложить, чтобы удержать поршень в таком положении? Ответ приведите в ньютонах.
Источник: ФИПИ
Площадь поперечного сечения сосуда $S = 20\ \text{см}^2 = 20\cdot 10^{-4}\ \text{м}^2$, начальное расстояние от дна до поршня $l_1 = 25\ \text{см} = 0{,}25\ \text{м}$, атмосферное давление $p_0 = 100\ \text{кПа} = 10^5\ \text{Па}$, начальное давление воздуха в сосуде $p_1 = p_0 = 100\ \text{кПа}$. Поршень сдвигают на $\Delta l = 5\ \text{см} = 0{,}05\ \text{м}$ в сторону дна, температура воздуха постоянна. Найти силу $F$, удерживающую поршень в новом положении.
Воздух в сосуде при давлении порядка атмосферного и комнатной температуре считаем идеальным газом: молекулы далеки друг от друга, их взаимодействием вне соударений можно пренебречь, поэтому применимо уравнение состояния идеального газа.
Поршень перемещают медленно, поэтому газ успевает обмениваться теплотой со стенками и его температура остаётся равной температуре окружающей среды: по условию температура не меняется, значит процесс изотермический, и для него справедлив закон Бойля — Мариотта. Сосуд закрыт поршнем, утечек нет, значит количество вещества газа постоянно — это второе условие применимости закона Бойля — Мариотта.
Сосуд горизонтальный, поэтому сила тяжести поршня направлена перпендикулярно его возможному перемещению и в уравнение равновесия вдоль оси сосуда не входит (её уравновешивает реакция стенок). Трения между поршнем и стенками по условию нет. Поршень покоится, следовательно применимо условие равновесия тела: векторная сумма сил, действующих на поршень вдоль оси цилиндра, равна нулю. Толщиной поршня и его массой в расчёте давления пренебрегаем, газ считаем однородным по объёму (давление одинаково по всему газу).
Сечение сосуда постоянно, поэтому объёмы газа в начальном и конечном состояниях равны $$V_1 = S l_1,\qquad V_2 = S l_2,\qquad l_2 = l_1 - \Delta l .$$
Закон Бойля — Мариотта для изотермического процесса: $$p_1 V_1 = p_2 V_2 .$$
Подставляя объёмы, площадь $S$ сокращается: $$p_1 S l_1 = p_2 S l_2 \quad\Longrightarrow\quad p_2 = p_1\,\frac{l_1}{l_1 - \Delta l}.$$
Так как $l_2 < l_1$, получаем $p_2 > p_0$: сжатый газ давит на поршень изнутри сильнее, чем атмосфера снаружи.
Теперь равновесие поршня вдоль оси сосуда. На него действуют: сила давления газа изнутри $p_2 S$ (направлена от дна), сила атмосферного давления снаружи $p_0 S$ (направлена к дну) и искомая удерживающая сила $F$. Условие равновесия в проекции на ось: $$p_2 S - p_0 S - F = 0 \quad\Longrightarrow\quad F = (p_2 - p_0) S .$$
Подставим выражение для $p_2$ и учтём, что $p_1 = p_0$: $$F = \left(p_0\,\frac{l_1}{l_1 - \Delta l} - p_0\right) S = p_0 S\,\frac{\Delta l}{l_1 - \Delta l}.$$
Сила $F$ направлена к дну сосуда — поршень нужно удерживать, прижимая его, иначе сжатый газ вытолкнет его обратно.
$$p_2 = 100\ \text{кПа}\cdot\frac{25\ \text{см}}{20\ \text{см}} = 125\ \text{кПа}.$$
$$F = (125 - 100)\cdot 10^{3}\ \text{Па}\cdot 20\cdot 10^{-4}\ \text{м}^2 = 25\cdot 10^{3}\cdot 20\cdot 10^{-4}\ \text{Н} = 50\ \text{Н}.$$
Проверим размерность: $[\text{Па}]\cdot[\text{м}^2] = \dfrac{\text{Н}}{\text{м}^2}\cdot \text{м}^2 = \text{Н}$ — получена сила, как и требовалось.
50