Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00007563

Дано:

$m = 0{,}4 \text{ кг}, \quad \mu_1 = 0{,}5, \quad \mu_2 = 0{,}3, \quad F = 12 \text{ Н}, \quad a = 2 \text{ м/с}^2, \quad g=10\text{ м/с}^2$

Найти:

$M$ — ?

Решение:

Разбор системы. Блок закреплён на стене неподвижно, оба отрезка нити горизонтальны. Один конец нити идёт от блока к бруску $m$ (лежит сверху на доске), второй — от блока к доске $M$. Сумма длин этих двух отрезков нити постоянна (нить нерастяжима), поэтому если доска удаляется от стены на $\Delta x$, брусок на ту же величину $\Delta x$ приближается к стене. Значит, брусок и доска движутся вдоль стола в противоположные стороны, но с одинаковыми по модулю скоростями и ускорениями: $|a_m| = |a_M| = a = 2\text{ м/с}^2$.

Возьмём ось $x$ вдоль стола, положительное направление — направление силы $F$ (от стены). Тогда доска ускоряется в сторону $+x$ ($a_M=+a$), а брусок — в сторону $-x$, то есть к стене ($a_m=-a$).

Силы, действующие на брусок (рисунок 1). Брусок лежит на доске: вес $mg$ вниз, нормальная реакция доски $N_1=mg$ вверх (вертикального ускорения нет). Так как доска движется вправо, а брусок — влево, брусок скользит по доске назад (влево) относительно доски, поэтому сила трения со стороны доски на брусок направлена вправо (тормозит относительное проскальзывание, то есть подталкивает брусок в сторону движения доски):

$$F_{\text{тр},1}=\mu_1 m g = 0{,}5\cdot0{,}4\cdot10 = 2\text{ Н}$$

Нить тянет брусок влево, к блоку, с силой натяжения $T$. Второй закон Ньютона для бруска по оси $x$ (ускорение $a_m=-a$):

$$F_{\text{тр},1} - T = m\cdot(-a) \quad\Rightarrow\quad T = F_{\text{тр},1} + ma$$ $$T = 2 + 0{,}4\cdot2 = 2{,}8\text{ Н}$$

Силы, действующие на доску (рисунок 2). На доску действуют: сила $F$ вправо, натяжение нити $T$ влево (нить тянет доску к блоку), сила трения со стороны бруска — по третьему закону Ньютона она равна по модулю $F_{\text{тр},1}$ и направлена влево (реакция на силу, которую доска оказывает на брусок), сила трения о стол $F_{\text{тр},2}$, направленная влево (доска движется вправо относительно стола). Нормальная реакция стола уравновешивает вес и доски, и бруска: $N_2=(M+m)g$, поэтому

$$F_{\text{тр},2}=\mu_2(M+m)g$$

Второй закон Ньютона для доски по оси $x$ (ускорение $a_M=+a$):

$$F - T - F_{\text{тр},1} - F_{\text{тр},2} = Ma$$ $$12 - 2{,}8 - 2 - 0{,}3(M+0{,}4)\cdot10 = 2M$$ $$7{,}2 - 3M - 1{,}2 = 2M$$ $$6 = 5M \quad\Rightarrow\quad M = 1{,}2\text{ кг}$$

Применимость законов. Стол неподвижен, значит его можно считать инерциальной системой отсчёта, в которой применим второй закон Ньютона. Нормальные реакции найдены из условия отсутствия вертикальных ускорений (вес уравновешен опорой). Для силы трения скольжения использован закон Амонтона — Кулона $F_{\text{тр}}=\mu N$, справедливый при равномерном контакте поверхностей и известном коэффициенте трения. Третий закон Ньютона применён для силы реакции доски на брусок и бруска на доску — эти силы равны по модулю и противоположны по направлению.