ID: 00006563
Квадрат со стороной $\alpha = 20$ см расположен в плоскости главной оптической оси тонкой собирающей линзы с оптической силой $D=2$ дптр так, что его стороны параллельны плоскости линзы (см. рисунок). Расстояние от дальней стороны квадрата до плоскости линзы $d_1 = 90$ см.
Определите площадь изображения квадрата в линзе. Сделайте рисунок, на котором постройте изображение квадрата в линзе, указав ход всех необходимых для построения лучей.
Источник: ФИПИ
Пусть вершины квадрата обозначены через $ABCD$, тогда $AB = BC = AD = AC = a$.
Фокусное расстояние линзы равно
$F = \frac{1}{D} = \frac{1}{2 \text{ дптр}} = 0,5 \text{ м} = 50 \text{ см}$
Для построения изображения квадрата необходимо провести лучи $AO$, $BO$ и луч параллельно главной оптической оси $AB$, который при преломлении в линзе пройдёт через фокус линзы. Аналогично для лучей $CO$, $DO$ и $DC$. На рисунке они не показаны, но в силу симметрии предмета относительно главной оптической оси изображение точек также будет симметрично относительно главной оптической оси. В результате получим изображение $A_1B_1C_1D_1$ квадрата $ABCD$.
Из рисунка $d_2 = d_1 - a = 90 \text{ см} - 20 \text{ см} = 70 \text{ см}$. Запишем формулу тонкой линзы:
$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F},$
где $d$ - расстояние от линзы до предмета, $f$ - расстояние от линзы до изображения.
Тогда для точки $A$:
$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F} \Rightarrow f_1 = \frac{F d_1}{d_1 - F} = \frac{50 \text{ см} \cdot 90 \text{ см}}{90 \text{ см} - 50 \text{ см}} = 112{,}5 \text{ см}$
Для точки $B$:
$\frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F} \Rightarrow f_2 = \frac{F d_2}{d_2 - F} = \frac{50 \text{ см} \cdot 70 \text{ см}}{70 \text{ см} - 50 \text{ см}} = 175 \text{ см}$
Значит, высота трапеции
$h = f_2 - f_1 = 175 \text{ см} - 112{,}5 \text{ см} = 62{,}5 \text{ см}$
Стороны $A_1D_1$ и $B_1C_1$ можно найти из увеличений линзы. Оно равно:
$\Gamma_1 = \frac{A_1D_1}{AD} = \frac{f_1}{d_1} \Rightarrow A_1D_1 = \frac{f_1}{d_1} AD = \frac{112{,}5 \text{ см}}{90 \text{ см}} \cdot 20 \text{ см} = 25 \text{ см}$
$\Gamma_2 = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{f_2}{d_2} \Rightarrow B_1C_1 = \frac{f_2}{d_2} BC = \frac{175 \text{ см}}{70 \text{ см}} \cdot 20 \text{ см} = 50 \text{ см}$
Тогда площадь трапеции:
$S = \frac{A_1D_1 + B_1C_1}{2} \cdot h = \frac{25 \text{ см} + 50 \text{ см}}{2} \cdot 62{,}5 \text{ см} \approx 2344 \text{ см}^2$
$S\approx 2344 \text{ см}^2$