Global EE

Кинематика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00005425

Задание №22. Рассчетная Задача. Механика

Кинематика

№2. Задание 22

ID: 00005425

В начале астрономического исследования Солнечной системы в 1766 г. немецким физиком И. Тициусом было сформулировано правило, приблизительно описывающее расстояния планет от Солнца. В 1781 г. после открытия Урана, большая полуось орбиты которого точно соответствовала этому правилу, И. Э. Боде предположил о возможности существования пятой от Солнца планеты между орбитами Марса и Юпитера с периодом обращения вокруг Солнца $T_х$ ≈ 4,7 года, которая до сих пор не была обнаружена. Вместо неё, как выяснилось позже, образовался пояс астероидов, которые не смогли «слипнуться» в планету из-за влияния тяготения массивного Юпитера. Каково было бы среднее расстояние от этой несостоявшейся планеты до Солнца в астрономических единицах? 1 а. е. = 150 млн. км — среднее расстояние от Земли до Солнца. Орбиты планет можно считать окружностями, лежащими в одной плоскости, с центром в Солнце. Ответ округлите до десятых

Источник: ФИПИ

Решение

Дано:

$T_x = 4{,}7\ \text{лет}, \quad T_\oplus = 1\ \text{год}$ $R_\oplus = 1\ \text{а.е.}$

Найти:

$R_x$ — ?

Решение:

Вывод третьего закона Кеплера из второго закона Ньютона. Для планеты на круговой орбите сила тяготения обеспечивает центростремительное ускорение: $$\frac{GM_\odot m}{R^2} = m \cdot \frac{4\pi^2 R}{T^2}$$ $$\frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{GM_\odot} = \text{const}$$ Это третий закон Кеплера — для всех планет Солнечной системы отношение $T^2/R^3$ одинаково: $$\frac{T_\oplus^2}{R_\oplus^3} = \frac{T_x^2}{R_x^3}$$ Выражаем $R_x$: $$R_x^3 = R_\oplus^3 \cdot \frac{T_x^2}{T_\oplus^2} = 1^3 \cdot \frac{4{,}7^2}{1^2} = 22{,}09$$ $$R_x = \sqrt[3]{22{,}09} \approx 2{,}8\ \text{а.е.}$$

Ответ

2,8

Видеоразбор

Другие задания по теме «Кинематика» (8)