Решение
Дано:
$k = 100 \text{ Н/м}, \quad \mu = 0{,}2, \quad D = 0{,}15 \text{ м}, \quad g = 10 \text{ м/с}^2$
Найти:
$m$
Решение:
Груз останавливается в положении, где пружина сжата на $\delta x$. В этом граничном положении сила упругости уравновешивается максимальной силой трения покоя:
$$k \delta x = \mu m g \implies \delta x = \frac{\mu m g}{k} \quad (1)$$
Закон сохранения энергии (начальное состояние — пружина растянута на $D$, конечное — пружина сжата на $\delta x$, груз остановился):
$$\frac{kD^2}{2} - \frac{k(\delta x)^2}{2} = \mu m g (D + \delta x) \quad (2)$$
Подставляем (1) в (2):
$$\frac{kD^2}{2} - \frac{k \cdot \frac{\mu^2 m^2 g^2}{k^2}}{2} = \mu m g D + \mu m g \cdot \frac{\mu m g}{k}$$
$$\frac{kD^2}{2} - \frac{\mu^2 m^2 g^2}{2k} = \mu m g D + \frac{\mu^2 m^2 g^2}{k}$$
Группируем:
$$\frac{kD^2}{2} = \mu m g D + \frac{3\mu^2 m^2 g^2}{2k}$$
Это квадратное уравнение относительно $m$:
$$\frac{3\mu^2 g^2}{2k} m^2 + \mu g D \cdot m - \frac{kD^2}{2} = 0$$
Подставляем числа: $A = \frac{3 \cdot 0{,}04 \cdot 100}{200} = 0{,}06$, $B = 0{,}2 \cdot 10 \cdot 0{,}15 = 0{,}3$, $C = -\frac{100 \cdot 0{,}0225}{2} = -1{,}125$:
$$m = \frac{-B + \sqrt{B^2 + 4AC}}{2A} = \frac{-0{,}3 + \sqrt{0{,}09 + 4 \cdot 0{,}06 \cdot 1{,}125}}{2 \cdot 0{,}06} = \frac{-0{,}3 + \sqrt{0{,}36}}{0{,}12} = \frac{-0{,}3 + 0{,}6}{0{,}12} = 2{,}5 \text{ кг}$$
